作者tyz (秋星夜雨)
看板Math
标题Re: [中学]请教竞赛试题
时间Wed Oct 21 21:47:04 2020
: 3.设n为自然数,且n^2+2019n为完全平方数,求n的最大值?
V大提醒後较简易作法
设n^2+2019n=k^2 k为自然数
配方後成为(2n+2k+2019)(2n-2k+2019)=2019^2
则
1. 2n+2k+2019=3^2*673^2 2n-2k+2019=1 =>n=1018081
2. 2n+2k+2019=3*673^2 2n-2k+2019=3 =>n=338688
3. 2n+2k+2019=673^2 2n-2k+2019=3^2 =>n=112225
4. 2n+2k+2019=3^2*673 2n-2k+2019=673 =>n=673
n最大值为1018081
感谢V大指点
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设n^2+2019n=k^2 k为自然数
将其视为n的一元二次方程式
则其判别式为为完全平方数
设D^2=2019^2+4k^2
则2019 2k D为直角三角形的三边
由毕氏三元数生成公式可知
https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38209
公式1:k=1019090
公式2:不合
公式3:k=113230
k最大值为1019090
n最大值为1018081
只是自己的一点想法
不保证正确
原因在於我无法判断含有2019的毕氏三元数是否只有这两组QQ
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1F：推 Vulpix : 分解成(2n+2k+2019)(2n-2k+2019)=2019^2就能讨论了 10/21 21:57
2F：→ tyz : 阿 对吼 配方後讨论较简单 10/21 22:25
3F：→ tyz : 而且V大提醒後我才注意到 我上面打的是k值 而非n值 10/21 22:26
4F：→ tyz : QQ 10/21 22:26
※ 编辑: tyz (175.181.145.170 台湾), 10/21/2020 22:31:51
5F：推 apom0228 : 感谢指点 10/22 08:02