作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
标题[线代] Jordan form 理解
时间Fri Sep 4 01:33:58 2020
想问一下我对 Jordan form 的理解正不正确
在 nilpotent 算子情况下，空间可以拆解成循环子空间的直和，矩阵表示法就会形成类似对角化的Jordan form (对角线上是下移矩阵的block)
但在非 nilpotent 算子的情况下 没办法套用此定理，因此把空间平移 eigenvalue 的量，并把定义域缩小到最大幂零区，就可以得到很多个 nilpotent 算子
所以最後空间会被拆成 generalized eigenspace 的直和，而 每个 generalized eigenspace 因为是 nilpotent 可以拆成循环子空间的直和
所以是直和再直和的意思 最後 Jordan form才会出现要切两次的情况
抱歉表达有点乱，这边有点搞不太清楚
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1F：推 hwanger : 不管任何算子 空间皆可以拆解成循环子空间的直和 09/04 06:34
2F：→ hwanger : 并在适当的选取基底下 其矩阵表示是rational canon 09/04 06:34
3F：→ hwanger : ical form 09/04 06:34
4F：推 hwanger : (更准确地说 是该算子限定在每一个summand时 其特徵 09/04 06:58
5F：→ hwanger : 多项式是不可约多项式的次方时 则我们有rational ca 09/04 06:58
6F：→ hwanger : nonical form) 09/04 06:58
7F：推 hwanger : 而jordan form存在的充要条件是该算子的特徵多项式 09/04 07:05
8F：→ hwanger : 在目前的系数域中可以写成一次项的相乘 在此情况下 09/04 07:05
9F：→ hwanger : 我们可以重新选取"上述循环子空间的每个summand" 09/04 07:05
10F：→ hwanger : 的基底 使该算子的矩阵表示就是jordan form 09/04 07:05
11F：推 hwanger : 而nilpotent算子的特徵多项式是λ^n 所以总是有 09/04 07:10
12F：→ hwanger : Jordan form 09/04 07:10
13F：推 hwanger : "在 nilpotent 算子情况下..." 这段 空间总是可以拆 09/04 07:16
14F：→ hwanger : 成循环子空间的直和 不管算子是否为nilpotent 09/04 07:17
15F：推 hwanger : "但在非 nilpotent 算子的情况下..."这段 不知道你 09/04 07:20
16F：→ hwanger : 所讲的定理是什麽 冏 09/04 07:20
17F：推 hwanger : 文章自此之後都依赖於"这一段" 所以我其实都看太懂 09/04 07:24
18F：→ hwanger : 看不太懂 或许你直接算个例子 并从例子中阐释你的想 09/04 07:27
19F：→ hwanger : 法 这样比较能让人明白你的问题点在哪 09/04 07:28
20F：→ NTUmaki : 这样说起来好像我从头到尾都理解错...我先整理一下 09/04 11:21
21F：→ NTUmaki : 我的问题 晚点回覆 09/04 11:21
22F：推 hwanger : 没留意到幂零算子的rational form和Jordan from是一 09/04 11:38
23F：→ hwanger : 样的 所以我大概可以理解你原本想说什麽了(?) 09/04 11:39
24F：→ hwanger : 让T:V→V 先考虑最简单的情况 假设T的特徵多项式可 09/04 11:41
25F：→ hwanger : 以分解成一次式相乘 设V=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 09/04 11:44
26F：→ hwanger : 其中C(vi)为由vi所生成的循环子空间且T_C(vi)的特徵 09/04 11:46
27F：→ hwanger : 多项式为(t-λi)^ni 则有两个cases 09/04 11:48
28F：→ hwanger : Case 1. 若T为nilpontent 则由{vi,T(vi),T^2(vi)..} 09/04 11:51
29F：→ hwanger : 所生的basis刚好可以拿来当Jordan form的basis 09/04 11:52
30F：→ hwanger : Case 2.若T不为nilpotent 则由{vi,T(vi),T^2(vi)..} 09/04 11:53
31F：→ hwanger : 只能拿来当rational form的basis 不能拿来当Jordan 09/04 11:55
32F：→ hwanger : form的basis 你必须选一个u满足(T-λi)^{ni-1}u非0 09/04 11:58
33F：→ hwanger : 再用{u,(T-λi)(u),(T-λi)^2(u),...}来当Jordan 09/04 12:00
34F：→ hwanger : form的basis 但即使在这个情况下 C(vi)只对应到一个 09/04 12:02
35F：→ hwanger : 完整的Jordan block 不会分裂成两个以上Jordan 09/04 12:03
36F：→ hwanger : block 没有所谓"直和再直和"的情形发生 09/04 12:04
37F：推 hwanger : 接着考虑更复杂的情况 让F为一个field M为一个nxn的 09/04 12:09
38F：→ hwanger : 矩阵 使得M的特徵多项式无法在F中分解成一次式相乘 09/04 12:10
39F：→ hwanger : 设F^n=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 其中C(vi)为由vi所 09/04 12:11
40F：→ hwanger : 生成的循环子空间且T_C(vi)的特徵多项式为fi^ni(x) 09/04 12:12
41F：→ hwanger : 其中fi为F-不可约多项式 09/04 12:15
42F：→ hwanger : 假设E为F的filed extension使得M的特徵多项式可以在 09/04 12:16
43F：→ hwanger : E中分解成一次式相乘 并且我们想继续(符号的滥用)分 09/04 12:18
44F：→ hwanger : 解 E^n=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 则此时因fi可能有 09/04 12:21
45F：→ hwanger : 两个以上不同的根 所以C(vi)会再分解成两个以上的 09/04 12:22
46F：→ hwanger : Jordan blocks 有一种"直和再直和"的感觉(其实并没 09/04 12:23
47F：→ hwanger : 有 因为你一开始的V是F^n 你接着做的Jordan decomp. 09/04 12:26
48F：→ hwanger : 实际上是考虑 1_E(x)M作用在 E^n=E(x)F^n 其中(x)表 09/04 12:31
49F：→ hwanger : 示tensor product) 09/04 12:31
50F：推 hwanger : 最後考虑更一般的情况 V=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 09/04 12:53
51F：→ hwanger : 仅仅假设C(vi)为T的循环子空间而不附带任何条件 09/04 12:55
52F：→ hwanger : 此时C(vi)可能可以再裂解成两个以上的循环子空间 09/04 12:57
53F：→ hwanger : 也就是说 我此前所考虑的其实是分解到最小的循环子 09/04 12:58
54F：→ hwanger : 空间 但一般而言 一个循环子空间是可以再写成一堆循 09/04 12:59
55F：→ hwanger : 环子空间的direct sum 09/04 12:59
56F：推 hwanger : ok 重新看了一下你的文章 确定我完全不懂你在说什麽 09/04 13:12
57F：→ hwanger : 冏 09/04 13:12
58F：推 hwanger : 再猜一次你的想法 让T:V→V的最小多项式为 09/04 13:19
59F：→ hwanger : (t-λ1)^n1*(t-λ2)^n2*...*(t-λk)^nk 09/04 13:21
60F：→ hwanger : 则V=N((t-λ1)^n1)⊕...⊕N((t-λk)^nk) 其中N(*) 09/04 13:24
61F：→ hwanger : 表示null space 09/04 13:24
62F：→ hwanger : 考虑T-λi作用在N((t-λi)^ni)上 则其为nilpotent 09/04 13:27
63F：→ hwanger : 故T-λi在N((T-λi)^ni)的Jordan form 就是rational 09/04 13:29
64F：→ hwanger : form 所以只需要考虑cyclic subspaces的decompositi 09/04 13:31
65F：→ hwanger : on 故N((T-λi)^ni)=C(vi1)⊕C(vi2)⊕...⊕C(vih) 09/04 13:32
66F：→ hwanger : 而这个分解是针对T-λi而言 09/04 13:34
67F：→ hwanger : 全部代回V 就有 V=⊕_{i,j} C(vij) 所以看起来好像 09/04 13:36
68F：→ hwanger : 切了两次 09/04 13:36
69F：推 hwanger : 但这里要注意的是 实际上C(vij)也是T的循环子空间( 09/04 13:40
70F：→ hwanger : 同样由vij所生成) 而V=⊕_{i,j} C(vij)的确写成了T 09/04 13:41
71F：→ hwanger : 的循环子空间的直和 所以你认为"只有nilpontent算子 09/04 13:43
72F：→ hwanger : 其作用的空间才可以拆解成循环子空间的直和"是错的 09/04 13:45
73F：→ NTUmaki : 头好痛QQ 出现一些我没学过的字（rational form、一 09/04 13:54
74F：→ NTUmaki : 次式、...） 我把我学的脉络整理一下..等等请你帮我 09/04 13:54
75F：→ NTUmaki : 看看是不是对的 09/04 13:54
76F：推 hwanger : Ok 不过我需要更正一下我上面讲的一件事 09/04 13:59
77F：→ hwanger : 若C(v)是T的一个循环子空间 且T_C(V)特徵多项式为 09/04 14:00
78F：→ hwanger : (t-λ)^n 则{v,T(v),...}为rational form的basis 而 09/04 14:02
79F：→ hwanger : {v,(T-λ)(v),(T-λ)^2(v),...}即为Jordan form的 09/04 14:03
80F：→ hwanger : basis 不需要另外找u了 09/04 14:03
82F：→ NTUmaki : 我整理大概如上面那样～不知道看不看得到 09/04 14:51
83F：→ NTUmaki : 接续一个疑问，最後变成说 空间一定可以拆成广义eig 09/04 15:06
84F：→ NTUmaki : enspace直和 是因为 在广义eigenspace情况下 几何重 09/04 15:06
85F：→ NTUmaki : 数=代数重数 所以可以类似对角化（只是对角是block 09/04 15:06
86F：→ NTUmaki : ） 应该没错吧 09/04 15:06
87F：推 hwanger : 第2点的lemma 很明显的漏了条件了 你应该是要k为特 09/04 17:14
88F：→ hwanger : 徵多项式中x-0的重数是吧 09/04 17:14
89F：→ hwanger : 第3点的heig是什麽 没有联想到任何名词 09/04 17:15
就是向量v他T^k後会变成0
90F：→ hwanger : 不过无关紧要 09/04 17:16
91F：→ hwanger : 第5点的部份 你只学nilpotent的情形 是吗? 09/04 17:16
92F：→ hwanger : 一般来说 第5点就是rational canonical form 09/04 17:17
93F：→ hwanger : (Frobenius normal form) 而S_k就是所谓的Companion 09/04 17:17
了解..下移矩阵我猜是老师自己创的名词
94F：→ hwanger : matrix (我没听过叫下移矩阵 不好意思见少识浅) 09/04 17:18
95F：→ hwanger : 如同你说的 他不用任何条件 任何算子都可以 09/04 17:19
96F：→ hwanger : 你第6点说的除了r和k有关的结论 其他在一般算子也都 09/04 17:20
97F：→ hwanger : 成立 正如你第5点所说的"就不用条件" 09/04 17:21
98F：→ hwanger : 而你第6点需要nilpotent 纯粹就是因为此时Companion 09/04 17:22
99F：→ hwanger : matrix刚好就是Jordan block的形式 09/04 17:22
嗯嗯 所以 nilpotent的情况 不用再切一次的意思
100F：→ hwanger : 第8点 nilpontent并没有保证几何重数=dim(W1) 09/04 17:23
101F：→ hwanger : am是代数重数才对 09/04 17:23
102F：→ hwanger : 我不太确定你是从哪本书上学到这些结论的 但一般我 09/04 17:25
103F：→ hwanger : 们不是这样看第8第9点的(更准确的说 我还是不知道 09/04 17:25
104F：→ hwanger : 你想讲什麽) 09/04 17:26
就是从 nilpotent算子的jordan form 推到 一般算子的 jordan form 思路是不是如我所打的
105F：→ hwanger : 我上面有说到 一般来说 若T的特徵多项式是 09/04 17:27
106F：→ hwanger : f(t)=(t-λ1)^n1*(t-λ2)^n2*...*(t-λk)^nk 09/04 17:27
107F：→ hwanger : 则我们会证V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk 09/04 17:27
108F：→ hwanger : 而这里的K(λi)=Ker((T-λi)^ni)就是generalized 09/04 17:28
109F：→ hwanger : eigenspace(之所以称作"广义" 是因为 09/04 17:28
110F：→ hwanger : V(λi)=Ker(T-λi)) 09/04 17:29
111F：→ hwanger : 第10点形式上是完全ok的 只是我看不出和第8第9点的 09/04 17:30
112F：→ hwanger : 观念何关 09/04 17:30
113F：→ hwanger : 第11点的结论就是我从13:19到13:36的推文所说的 09/04 17:31
114F：→ hwanger : 最後你15:06分所说的 几何重数是定义成independent 09/04 17:31
115F：→ hwanger : 的eigenvectors的最大个数 应该没有定义成 09/04 17:32
116F：→ hwanger : independent的generalized eigenvectors的最大个数 09/04 17:32
117F：→ hwanger : 才对 你应该是想说对应到λ的generalized 09/04 17:33
118F：→ hwanger : eigenspace的维度=λ的代数重数才对 09/04 17:33
对对对 没错
119F：推 hwanger : 而"空间一定可以拆成广义eigenspaces"是因为如前所 09/04 17:48
120F：→ hwanger : 述 我们会证V=Ker((T-λ1)^n1)⊕..⊕Ker((T-λk)^nk 09/04 17:48
121F：推 hwanger : V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk是能做广义 09/04 17:51
因为没证 所以我想把他大致理解成 他是把他推到 generalized eigenspace 这样他的维度就会=代数重数，某种程度上很像之前学的对角化等价条件（只是这里对角是block
122F：→ hwanger : eigenspaces decompostion最重要的定理 但你通篇只 09/04 17:51
123F：→ hwanger : 有第11点有稍稍提到一下 而且你似乎没打算要证 冏 09/04 17:52
QQ 因为不是for 数学系的线代 老师说几个定理不证 只知道结果就好
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:34:58
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:36:04
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:37:11
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:37:56
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:38:40
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:40:37
124F：→ NTUmaki : 总之可以理解成 nilpotent 是 最後定理的其中一个ca 09/04 19:41
125F：→ NTUmaki : se （最後出来的 jordan form 比较不用切那麽多块） 09/04 19:41
126F：→ NTUmaki : 这样吧！？ 有些核心定理没证...我只想大致理解他 09/04 19:41
127F：→ NTUmaki : 的概念 09/04 19:41
※ 编辑: NTUmaki (27.247.233.249 台湾), 09/04/2020 19:42:32
128F：推 hwanger : [17:15]如果heig是这个意义 那就很有问题了 冏 一般 09/04 21:34
129F：→ hwanger : 来说是找最小的k满足{v,T(v),T^2(v),...,T^k(v)}是 09/04 21:35
130F：→ hwanger : 线性相依的 而不是T^k(v)为0的 09/04 21:35
131F：→ hwanger : [17:22]nilpotent是不用切第一次 但你还是得切成 09/04 21:36
132F：→ hwanger : cyclic subspaces 09/04 21:36
133F：→ hwanger : [17:26]老实说 你其实表达的很模糊 我只能说我可以 09/04 21:37
134F：→ hwanger : 很轻易的把第8第9点解释成正确的东西 但完全不能断 09/04 21:37
135F：→ hwanger : 定我的想法和你心中的认知是否一致 冏 因为是你想搞 09/04 21:37
136F：→ hwanger : 懂的 所以你应该想办法给出更清晰的说法 09/04 21:38
137F：→ hwanger : 并且同[17:51]和[17:52] 09/04 21:39
138F：→ hwanger : V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk之所以为核 09/04 21:40
139F：→ hwanger : 心定理 是因为一旦理解之後 其他性质就很容易入手 09/04 21:41
140F：→ hwanger : 你可以不用证明这个定理 但是最好是去理解这个定理 09/04 21:41
141F：→ hwanger : (这个定理其实也只是Cayley–Hamilton的进一步推广 09/04 21:41
142F：→ hwanger : 而已) 09/04 21:42
143F：→ hwanger : 17:51]这个不是什麽等价条件 是当over C时 我们一定 09/04 21:42
144F：→ hwanger : 有这个分解 09/04 21:43
145F：→ hwanger : [19:41]这样想是没问题的 09/04 21:44
146F：→ hwanger : 现在比较冏的事是我其实是用更简单的理论(modules 09/04 21:45
147F：→ hwanger : over PID)去想rational form和Jordan form的 所以很 09/04 21:45
148F：→ hwanger : 多事情是相当trivial的 但为了理解这个更简单的理论 09/04 21:45
149F：→ hwanger : 你反而需要更多先备知识 09/04 21:45
150F：→ hwanger : 如果要把这个理论简化成对一般线代学习者可以理解的 09/04 21:46
151F：→ hwanger : 那V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk)就会是 09/04 21:46
152F：→ hwanger : 核心知识 所以才会希望你可以正视这个东西 09/04 21:46
153F：→ hwanger : 当然如果你只是单纯想算jordan form 那就不用理解这 09/04 21:47
154F：→ hwanger : 些东西 09/04 21:47
155F：→ NTUmaki : 了解...其实发现最後算的时候也不知道在干嘛 因为核 09/05 12:36
156F：→ NTUmaki : 心定理没证@@ 感谢回答 09/05 12:36
157F：推 hwanger : 其实单纯只是会算Jordan form还是满有用处的 他常应 09/05 18:47
158F：→ hwanger : 用在矩阵次方的计算上 比方说要算exp(A)或cos(A)之 09/05 18:48
159F：→ hwanger : 类 计算这类东西不懂整个理论是完全OK的 09/05 18:49