作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
标题[线代] Hermitian 等价定义
时间Tue Aug 25 13:45:46 2020
对一些数学语言不太熟，想问一下对这个定理的理解有没有错误
A属於n*n复矩阵，
A*=A
iff
x*Ax属於实数 for all x 属於复数vector
我的理解：
1. 後面那个叙述要for all x 属於复vector 所以实数下不成立（因为连复数的也必须对）
2. A只说属於复矩阵，所以其实也可以取实矩阵 变成
A^T=A iff x*Ax属於实数 for all x 属於复数vector
3. 顺便问一下，因为positive definite 一定满足 x*Ax 属於实数，所以一定是hermitian，因此我可以用这个当判断，如果矩阵不是hermitian 他一定不会是positive definite
想问这样对不对 ？
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※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 13:53:44
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※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 13:55:04
1F：→ Ricestone : 1.往左的箭头不成立 2.对 3.对（除非是狭义的正定） 08/25 14:04
2F：→ Ricestone : 喔不，2你的左箭头不对 08/25 14:05
意思是可能右边会推出hermitian 但不symmetric 所以我不能取实矩阵 是吗？
3F：→ Ricestone : 再修正，是我误会了，你的2没错 08/25 14:08
哦哦哦哦好
※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 14:09:19
※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 14:09:39
4F：→ Ricestone : 实际上正定的一般定义里面就包含A要是symmetric或 08/25 14:10
5F：→ Ricestone : Hermitian了，只是在复数情况下那个正定定义就能推 08/25 14:11
6F：→ Ricestone : 出必须Hermitian，但在实数下若只有xTAx这条件会推 08/25 14:12
7F：→ Ricestone : 不出必须要是symmetric 08/25 14:12
为何！！？
8F：→ Ricestone : 我这边说的正定定义是指x*Ax>0 08/25 14:13
9F：→ NTUmaki : 那请问这两句话对不对：A属於复矩阵，则正定一定her 08/25 14:15
10F：→ NTUmaki : mitian ；A属於实矩阵，则正定一定Symmetric 08/25 14:15
※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 14:16:33
11F：→ Ricestone : 前一句一定对，但後一句要看定义 08/25 14:16
请问是哪一个的定义
12F：推 Vulpix : 例如A是旋转九十度，x'Ax就一定是0。 08/25 14:18
※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 14:19:49
13F：→ Ricestone : 看实数矩阵的正定的定义里面有没有对称这个前提 08/25 14:20
喔！所以有一些实矩阵的正定会要求对称，有些不用
14F：→ Ricestone : 举例来说{{1,1},{-1,1}}这个矩阵也符合xTAx>0 08/25 14:21
※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 14:21:27
15F：→ Ricestone : 不过我们当然会有补救的方法，也就是二次式的修正 08/25 14:21
就是正定一律把他取成对称的吗
※ 编辑: NTUmaki (110.30.184.103 台湾), 08/25/2020 14:22:43
16F：→ Ricestone : 我们可以把那个非对称矩阵换成具有相同值的对称矩阵 08/25 14:23
17F：→ Ricestone : 这样我们对Hermitian矩阵的结论就都可套用了 08/25 14:23
18F：→ Ricestone : 具体来说，前面那个例子跟{{1,1/2},{1/2,1}}的二次 08/25 14:24
19F：→ Ricestone : 式是一样的，所以我们只要对後者进行正定判定就知道 08/25 14:24
20F：→ Ricestone : 它是不是正定 08/25 14:24
21F：→ Ricestone : 你复习到二次式（就是xTAx）的时候应该会再看到 08/25 14:26
22F：→ NTUmaki : 好神奇@@ 08/25 14:26
23F：推 Vulpix : 他的对称部应该是I吧。 08/25 14:27
24F：→ Ricestone : 喔对，我没仔细想清楚 08/25 14:28
25F：→ NTUmaki : 我知道不用对称的例子存在了 但我逻辑上不太懂为什 08/25 14:31
26F：→ NTUmaki : 麽不用， A属於复矩阵则A正定一定hermitian ；但是 08/25 14:31
27F：→ NTUmaki : 当A属於实矩阵的时候 他一定也属於复矩阵，这样A正 08/25 14:31
28F：→ NTUmaki : 定一定hermitian ，此处hermitian 不就刚好是对称吗 08/25 14:31
29F：→ NTUmaki : ？还是说讲实矩阵的时候 不能提到hermitian 08/25 14:31
30F：→ Ricestone : 主要原因是xTAx里面的x是属於实数，这导致可以不对 08/25 14:32
31F：→ Ricestone : 称 08/25 14:32
32F：→ Ricestone : 而当然如果是写x*Ax，并且x属於复数的话，那就可以 08/25 14:33
33F：→ Ricestone : 直接套用Hernitian的结论了 08/25 14:33
34F：→ NTUmaki : 哦哦！所以一般会让A跟x的定义域一致吗 08/25 14:34
35F：→ Ricestone : 你可以想像就是後者要求比较多 08/25 14:34
36F：→ Ricestone : 出题的话通常会写清楚，没写你也只能揣摩上意 08/25 14:35
37F：→ NTUmaki : 这边一下定在复数 一下定在实数 好混乱== 08/25 14:43
38F：→ NTUmaki : 总之如果A属於实矩阵，然後我的正定是定义for all x 08/25 14:49
39F：→ NTUmaki : 属於‘复vector’那我就可以说 正定一定对称？ 08/25 14:49
40F：→ Ricestone : 可以 08/25 14:50
41F：推 Vulpix : 不会「突然」变混乱。因为系数的范围可以有多大这事 08/25 16:30
42F：→ Vulpix : 是一开始就要讲明白的。 08/25 16:31