※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : Problem 2 : 设 x, y, z 为 {-2, -1, 0, 1, 2} 中的任一数 : 因此 S = {(x, y, z)} 共有 125 个座标点 : 试问有多少正三角形的三顶点皆在 S 内？ 设三角形三顶点为 A, B, C 则向量 AB + BC + CA = 0, 且三向量各坐标绝对值皆不超过 4 因为同种类的向量可以一起算，用向量(距离差)来算会好算很多 ================================================================ (Lem) 给定任意空间中的三角形 ABC 存在唯一一个最小长方体包含该三角形 若 A, B, C 皆为格子点，则该长方体顶点也是 (pf) 取该长方体被以下六个平面包围 x = max{xA, xB, xC}, y = max{yA, yB, yC}, z = max{zA, zB, zC} x = min{xA, xB, xC}, y = min{yA, yB, yC}, z = max{zA, zB, zC} 由此即可得到 Lem 的结论 ================================================================ (Lem) 若 AB, BC, CA 皆为 (a, b, c) 调换顺序、任意加正负号 a >= b >= c >= 0, 则 a = b + c (pf) 考虑 x 坐标相加为 0，将带有负号的项移到等号对面 必定会形成 x1 = x2 + x3 的形式，且 x1, x2, x3 >= 0 因此三个 x 坐标的绝对值，两个小的相加必为最大的 现在将 aaabbbccc 分成三组 (1) 任一组有 aa a = a + a, 则 a = b = c = 0 a = a + b, 则 b = c = 0，第三个 a 那组会给出 a = 0 a = a + c, 则 c = 0 若其他组有 cc, 则 a = b = 0 若各一个 c, 则 a = b, 此时有 a = b + c (2) 每组都一个 a 必定有至少一组会出现 a = b + c ================================================================ 有以上两个引理之後，会比较容易完成本题的证明 Solution to Problem 2 首先先列表计算所有可能的 (x, y, z) 向量长度(平方) z=0 z=1 z=2 z=3 z=4 x\y 4 3 2 1 0 x\y 4 3 2 1 x\y 4 3 2 x\y 4 3 x\y 4 4 32 25 20 17 16 4 33 26 21 18 4 36 29 24 4 41 34 4 48 3 18 13 10 9 3 19 14 11 3 22 17 3 27 2 8 5 4 2 9 6 2 12 1 2 1 1 3 0 0 可以注意到重复的长度有： 9 : (3, 0, 0), (2, 2, 1) 17: (4, 1, 0), (3, 2, 2) 18: (3, 3, 0), (4, 1, 1) (Step 1) 三向量皆为相同组成 由第二个 Lemma 可知必须有 x = y + z，因此可能有以下几种 外包矩形 每个矩形内 有几个矩形 (1, 1, 0) 1 x1 x1 8 种 64 个 (2, 2, 0) 2 x2 x2 8 种 27 个 (3, 3, 0) 3 x3 x3 8 种 8 个 (4, 4, 0) 4 x4 x4 8 种 1 个 (2, 1, 1) 2 x2 x2 8 种 27 个 (3, 2, 1) 3 x3 x3 16 种 8 个 (4, 3, 1) 4 x4 x4 16 种 1 个 (4, 2, 2) 4 x4 x4 8 种 1 个 ----------------------------------------------- 计 1168 个正三角形 (Step 2) 三向量不同组成 仅有长度平方为 9, 17, 18 的情况，有不同种类的向量 考虑 x + y + z 的奇偶性： 9 : 奇, 奇 17: 奇, 奇 18: 偶, 偶 选三组向量总和必为偶数，9 和 17 直接排除 由试误法可得 (3, 3, 0) = (4, -1, 1) + (-1, 4, -1) 外包矩形 每个矩形内 有几个矩形 4 x4 x1 8 种 12 个 ----------------------------------------------- 计 96 个正三角形 (Last step) 共有 1168 + 96 = 1264 个正三角形 注：可参考原篇底下 LPH66 的详解，有图 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 49.216.48.74 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1589643691.A.A6D.html