※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : Problem 1 : Γ1 为三次实系数多项式 y = f(x) : 有三根 -1, 0, 1, 首项系数为正 : Γ2 是 Γ1 以原点为轴心 逆时针旋转 90 度的图形 : 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 点 : 求两图形围成的面积（红色区域） : https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg Solution to Problem 1 显然 f(x) = a(x-1)x(x+1), a > 0 a 改变时，Γ1 整个图形上下延伸，Γ2 左右延伸 很明显会有一个，且唯一一个 a 让两图形相切 本题大致上分成两个步骤 (1) 找出 a (2) 积分算出面积 (Step 1) <Sol 1> 真高中解法：见原题底下 LPH66 的详解图 设第一象限的切点坐标 (u, v), u > v > 0 则显然四切点为 (u, v), (-v, u), (-u, -v), (v, -u) 由於切点在图形上，可得 v = a (u^3 - u) ...(1) -u = a (v^3 - v) ...(2) 由两切点的切线互相垂直可得 a (3u^2 - 1) a (3v^2 - 1) = -1 ...(3) 由 (1)/(2) 整理可得 u^4 + v^4 = u^2 + v^2 ...(4) 由 (1)*(2) 可得 a (u^2 - 1) a (v^2 - 1) = -1 ...(5) 比较 (3), (5) 并化简可得 u^2 + v^2 = 4 u^2 v^2 ...(6) 合并 (4), (5) 即可解出 u^2 = (3 + √3)/4, u = (1/2) √(3 + √3) v^2 = (3 - √3)/4, v = (1/2) √(3 - √3) 代回 (5) 可求出 a = 2√2 <Sol 2> 近高中解法：见 LimSinE 的回文 (u, v) 定义同 Sol 1 由 y = a(x^3-x) 和 -x = a(y^3-y) 互相代入可得 9 次式 -x = a (a^3 (x^3 - x)^3 - a(x^3 - x)) 0 = a^4 x^9 - 3 a^4 x^7 + 3 a^4 x^5 - (a^4+a^2) x^3 + (a^2+1)x 由於切点代表有重根，其 9 根应为 u, u, -u, -u, v, v, -v, -v, 0 将该式除以 x (把 0 这根拿掉)，并设 X = x^2 可得 0 = a^4 X^4 - 3a^4 X^3 + 3a^4 X^2 - (a^4+a^2) X + (a^2+1) 应有 4 根为 u^2, u^2, v^2, v^2, 所以事实上可以写成平方式 0 = (a^2 X^2 + b X + c)^2 展开後比对系数可得到 a^2 = 8, a = 2√2 <Sol 3> 个人第一次解题使用的解法 设 R(x) 为上面的 9 次式，微分得 R'(x) 为 8 次式 然後对 R(x), R'(x) 辗转相除法，直到 3 次式以下归 0，比对系数得到 a = 2√2 这个方法难算到爆，乖孩子不要学(欸 算是个人的坏习惯吧，当初画出图形的时候，只猜想理论上有解 不知道有没有好解法，会下意识使用最暴力的方法刚过去 <Sol 4> 使用 Wolframalpha 将 R(x) = 0 丢进去 Wolframalpha 给它解 它会算出一个很丑的大根号，里面有一堆 a^2 - 8 基於切点应该是特殊情况，猜 a^2 = 8 是人之常情 想要验证的话，拿 Desmos 或 Geogebra 画一下就解决了 (Step 2) 这边就不详述了，方法有很多种 我自己使用的方法如下： https://i.imgur.com/PMWqbJk.png 1/4 面积 = 绿 + 红 = (-蓝 + 绿) + (红 + 黑) = int_(-u)^(-v) a (x^3 - x) dx + uv = 2√2 (v^4/4 - u^4/4 - v^2/2 + u^2/2) + uv = 3√6 / 8 因此 面积 = 3√6 / 2 ======================================================= Bonus Problem: 可以看出原题我是用 Desmos 作图 虽然 Geogebra 功能比较强，但我的电脑烂手机烂易 lag，所以偏好用 Desmos Desmos 画面积的功能有限，要画出我那张图并不容易 第一个用 Desmos 复制出我那张图的有 50 P 奖励 第一个猜中我大致上用什麽方法画的也有 50 P 奖励 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 101.12.71.213 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1589463507.A.3A8.html 嗯 所以没用的不好意思ow o 不过我可以说明一下，Desmos 画面积的方法其实只有一种： f(x) < y < g(x) { a < x < b } 以及 x, y 互换，或是 < 改成 <= 之类的 而 Desmos 最糟糕的地方是，它会画 f(x), g(x) 的线 所以如果乱切的话，会冒出一堆莫名其妙的线 你说为啥我不去用 geogebra 就好 因为我觉得用 desmos 画是一种挑战XD RRR 搞错图了 是原文那张（或本页第一张） 积分功能某方面来说和取范围没两样 总之既然有图就 20P 吧qw q 靠 幸好我有问这个问题 括号居然可以有两个=A= 总之 50P 要不要看我怎麽画的 我还是自己把另一个 50P 吃了吧qw q https://www.desmos.com/calculator/ktaxtip2bd 你知道当我好不容易写出一个反函数 结果发现它只代表其中一段（理所当然）的时候有多绝望吗 感谢 另一个 50P 就给你吧 等最近有空开电脑的时候 以上三位已发 ※ 编辑: TimcApple (49.216.48.74 台湾), 05/17/2020 23:28:55