※ 引述《TeitoKlein (Ted)》之铭言： : 不好意思还有两题想请教 : 两题都是问使级数收敛的条件 : 无穷 n : 1. Σ (Π (2k-1)/2k )^p 求级数收敛的p值范围 (Ans: p > 2) : n=1 k=1 以下只是为了说明 Π_{k=1}^n (2k-1)/2k = O(n^-0.5)。 先令 A_n = Π_{k=1}^n (2k-1)/2k, B_n = Π_{k=1}^n 2k/(2k+1) 那麽 A_n*B_n = 1/(2n+1)，而且显然 A_n > B_n，所以 A_n > 1/√(2n+1)。 又 A_n*B_{n-1} = 1/2n，而且 2A_n < B_n-1，所以 A_n < 1/√n。 Σ(2n+1)^(-p/2) < 原级数 = ΣA_n < Σn^(-p/2)， 当 p > 2，Σn^(-p/2) 收敛。 当 p ≦ 2，Σ(2n+1)^(-p/2) 发散。 : 无穷 n : 2. Σ [n!/(n^p * Π (q+k))] 求级数收敛的p+q值范围 (Ans: p+q > 1) : n=1 k=1 以下只是在说明 Π_{k=1}^n (q+k)/n! = O(n^q)。 首先，q 其实不能是负整数。 然後，如果 q+1 是负的，就不要看他。 因为 Σ_{n=1}^∞ [n!/(n^p * Π_{k=1}^n (q+k))] 和 Σ_{n=1}^∞ [n!/(n^p * Π_{k=2}^n (q+k))] 其实也只差一个 q+1 倍。 依此类推，我们不看的项终究有限， 毕竟从 k = max{[-q]+1,1} 开始，q+k 都是正的了。 用 K 称呼 max{[-q]+1,1}。 意思是这样的，原式从第 K 项开始的和可以改写成这样： (K-1)!/Π_{k=l}^{K-1} (q+k) * Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p*Π_{k=K}^n (q+k))]， 我们其实只要看後面的 Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p * Π_{k=K}^n (q+k))] 就好。 明确一点说，我们要看的是 n!/(K-1)!/Π_{k=K}^n (q+k)。 n!/(K-1)!/Π_{k=K}^n (q+k) = 1/(1+q/K)(1+q/(K+1))...(1+q/n) < [( 1/(1+q/K) + 1/(1+q/(K+1)) + ... + 1/(1+q/n) )/(n-K+1)]^(n-K+1) < [ 1-q/(n-K+1)*(1/(n+q) + ln(n/K)) ]^(n-K+1) < e^{-q*(1/(n+q) + ln(n/K))} = e^{-q/(n+q)}/(n/K)^q < e/(n/K)^q, 只要 n 比 -2q 大就好。 所以 Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p * Π_{k=K}^n (q+k))] < Σ_{n=K}^∞ e*K^q/n^{p+q} 当 p+q>1 时，收敛。 然後要确定 p+q≦1 时会发散。 1/(1+q/K)(1+q/(K+1))...(1+q/n) > {(n-K+1)/[ 1+q/K + 1+q/(K+1) + ... + 1+q/n ]}^(n-K+1) = 1/[ 1 + q/(n-K+1)*( 1/K + 1/(K+1) + ... + 1/n ) ]^(n-K+1) > 1/[ 1 + q/(n-K+1)*( 1/K + ln(n/K) ) ]^(n-K+1) > e^{-q/K}/(n/K)^q Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p * Π_{k=K}^n (q+k))] > Σ_{n=K}^∞ e^{-q/K}*K^q/n^{p+q} 当 p+q≦1 时，发散。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.160.8.140 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1576948493.A.2AD.html ※ 编辑: Vulpix (1.160.8.140 台湾), 12/23/2019 02:57:27