作者lucifiel1618 (Awen)
看板Math
标题Re: [中学] 积大和就大
时间Sun Aug 14 20:17:19 2011
※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之铭言：
: 设a≧b≧c≧d＞0，试证：若ad≧bc---(1)，则a+d≧b+c。
我首先想证明在这个题目的条件下a^2+d^2≧b^2+c^2
1.用反证法，假设a^2+d^2<b^2+c^2---(2)的情况下：
由(1)ad≧bc(>0,因为a,b,c,d皆大於零)可得：-2bc≧-2ad---(3)
所以(2)+(3)得：(b-c)^2>(a-d)^2，
又b≧c=>(b-c)≧0且a≧d=>(a-d)≧0
所以得到b-c>a-d=>b+d>a+c
两边同乘以c得到：bc+cd>ac+c^2
再由(1)所以d(a+c)=ad+cd≧bc+cd>ac+c^2=c(a+c)
因为(a+c)>0，两边同时消去(a+c)可得到：
d>c与假设矛盾
2.由1.的结果我们可以知道：a^2+d^2≧b^2+c^2---(3)
(3)+2*(1),
得(a+d)^2≧(b+c)^2因为a,b,c,d皆正，所以a+d≧b+c故得证
抱歉因为符号弄乱修了好多次
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.47.197.120
※ 编辑: lucifiel1618 来自: 114.47.197.120 (08/14 20:24)