※ 引述《pennyleo》之铭言： : 一个函数 可视为无限维度的向量 : 则 我想问 : 把一函数视为向量後 : 对一个函数的"线性运算" 例如微分 积分 .... : 是否必对应到一个等价的无限维度的矩阵? : 又 这些无限维度的矩阵 其行数与列数是否应相等 : (我不确定对於无限维度矩阵这样的叙述是否正确) : 若以上叙述为非 : 则 对於哪些运算 才对应到等价的无限维度的矩阵? : 以及这些无限维度的矩阵 其行数与列数是否应相等 : 请高手答覆 : 谢谢 就如同版友说的，无限维矩阵跟敛散性有关系，所以通常你必须要在向量空间上 给定一个拓朴之後比较好说甚麽叫无线维矩阵。如果你考虑的是抽象的向量空间， 你希望研究其上的线性算子，你对"基底"的认知也会有所改变。所以就有Hamel Basis 跟Schauder basis的差异。 如果研究的向量空间是Banach空间，你就可以想成是连续函数所定义出来的向量空间 C(X)，然而其上的线性算子并没有一个比较好的表现定理，换句话说你没有办法具体 的刻划出C(X)上的所有线性算子。 如果你研究的空间是Hilbert空间H，并且这空间是separable，那麽此Hilbert空间同构 於l^2空间。原因就是在於，基底个数是可数的，所以你可以对你的基底中的向量取名 字。而l^2空间是所有平方和收敛的数列，你把他想像成欧氏空间的无穷维推广。在此 情况下，你就可以把线性算子表示成无穷维矩阵。如果Hilbert空间是不可分离的，你 还是可以把他表成类似矩阵的想法，定义A_ij = <e_i|A|e_j>。此时你并不是真的把 他写成矩阵，单纯的称Aij线性算子A的矩阵元素(matrix element)。其中{ei}是H的 基底。此时你当然可以称行数跟列数视相等的。因为他们的基数就是基底元素的个数。 在一般非Hilbert空间的向量空间讨论线性算子的矩阵表示是有困难的，通常你想要 用矩阵来研究线性算子也是希望利用矩阵的ㄧ些性质来讨论他。无穷维矩阵通常只是 摆好看的，当然如果你研究的向量空间是数列形成，其上的线性算子自然是无穷维矩 阵，也是有人在做这方面的研究。 在泛函分析里面，数学家对於无穷维矩阵研究的兴趣并不是很大，但研究线性算子时 的确是会用无穷维矩阵的想法去做，或者是用有线维矩阵去逼近。可以用有线维矩阵 逼近的线性算子又叫做紧致算子(compact operator)。为了一些目的，你又在这类算 子中做更细微的分类，例如可以算trace的称为trace class。比较有意思的并不是单 纯的线性算子本身，而是这类算子所形成的代数结构。着名的Brown–Douglas– Fillmore theory，就是仰赖於这类算子的代数结构。 http://eom.springer.de/b/b130270.htm 这代数结构丰富了二十世纪的泛函分析，影响了非对易(交换)几何学的发展。考虑 Hilbert空间H，B(H)为其上的有界线性算子，K(H)是定义在H上的紧致算子。那麽K(H) 构成B(H)得一个ideal。他的商环Q(H)=B(H)/K(H)称之为Calkin algebra。当然我相信 还是有人对於无穷维矩阵有很大的兴趣，只是大家已经不太花时间在上面了。 -----------

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 128.120.178.219 ※ 编辑: herstein 来自: 128.120.178.219 (07/04 03:28)