作者sleep123 (sleep123)
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标题Re: [中学] 新北市高中职教甄Q4 计算Q1
时间Mon Jun 20 17:26:03 2011
※ 引述《annzi (打桌球)》之铭言：
: 先谢谢板上的大大提供的协助,最近问了不少问题,谢谢
: Q1.
: (b.)a.b为正实数,a+b=1 ,试求ab +(ab)^(-1)之最小值
笨方法讨论：
因为a,b在(0,1)，所以 ab<1
d a(1-a)
令 --------=0 => a=1/2 有最大值
da
d 1
-- ------=0 => a=1/2 有最小值
da a(1-a)
猜测 a=1/2 有极值
令 f(x)=ab + 1/(ab) = (0.5-x)(0.5+x) + 1/(0.5-x)(0.5+x)，其中x在(0,1/2)
d
-- f(x) = 2x/(0.25-x^2)^2 - 2x > 0 (=0发生在x=0时)
dx
又 1/ab > ab ，所以 f(x) >= 1/4 + 4 = 17/4
(这句话有点问题，不过算了)
另外提供快速解法：
把 ab 点想成在 1/x + 1/y = 0 且是第一象限上
所以极值应该发生在离圆点最近或最远点 带 (0.5,0.5) 或 (1,0)
发现最小值 1/4 + 4 ； 最大值：无限大（亦即没有）
考选择题就随便带
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