作者eggsu (数学一等兵)
看板Math
标题Re: [中学] 直角三角形的外接圆、内接圆半径的关系
时间Sat May 28 23:16:45 2011
※ 引述《Annihilator (> No LOVE (%))》之铭言：
: ※ 引述《eggsu (数学一等兵)》之铭言：
: : 请教大家一个问题：
: : 直角三角形，内切圆半径r，外接圆半径R
: : 证：R+r > √(2倍三角形面积)
: 令面积为T之直角三角形的两股边长为a,b且对应角为A,B ( A+B=90°)
: 则
: a/sinA = b/sinB = 2R
: 因此
: R^2 = ab/(4sinAsinB) = (ab/2)/(2sinAcosA) ≧ T (1≧sin2A=2sinAcosA)
: 同时
: 2Rr + r^2 = T
: 因此
: (R+r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 ≧ 2T
: 即
: R+r ＞ √(2倍三角形面积)
令直角三角形的两股为 a、b，斜边为 c
则 2R = c，得 R = c/2
又 r = (a+b-c)/2
且 2倍三角形面积 = 2*(ab/2) = ab
故 R + r = c/2 + (a+b-c)/2 = (a+b)/2 ≧ √(ab)
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