作者endlesschaos (佐佐木信二)
看板Math
标题Re: [微积] 关於PDE的变数分离法的问题
时间Fri May 20 00:07:35 2011
※ 引述《funnypeter (很难笑,披得)》之铭言：
: 其实这个应该算是有点蠢的问题
: 但我真的很想弄清楚!!
: 若有函数u(x,y)
: 利用变分法写成u=F(x)G(y)
u = F(x)G(y)
代入偏微分方程式後写出
F"(x) = G"(y)
让我们把这个二次微分的式子写开来
2 2
d F d G
----- = -----
2 2
d x d y
原本 F(x) 是一个只有变数 x 的函数
对 x 做两次全微之後必定还是只有变数 x 的函数
同理 G(y) 亦同
而一个 x 的函数和一个 y 的函数相同
唯一的机会就只有两者皆为常数才行
因此才可以设出特徵值
而三种特徵值的情况又只有一种有非零解
要记住你的等号成立於「函数相等」而非单指「函数值相等」
因此只限定特定值的说法是无法成立的
: 代入波方程式 热方程式什麽的
: 整理後写成 F''(x)=G''(y)
: 这是工数课本上很常见的式子
: 其中一定会写到：
: "因为变数已经分开了，左边只有x，右边只有y，固定y值
: 任意改变x值等号都会成立，於是他们必为常数"
: 於是令他们等於-k^2，然後就这样解出F和G
: 如果用"结果论"来讨论 是没错的...
: 我的疑问是 当初解这个方程式的人为什麽可以这麽肯定这个等号是"绝对成立"?
: 也就是不论怎麽改变x和y的值 等号恒成立....?
: 为什麽不会将等号认为是必须在特定的值才能成立的情况呢?
: 例如 f(x)=5x，g(y)=2y
: f(x)=g(y)，其中等号成立只限定在特定的值，例如x=1,y=2.5(或其他可能解)
: 等号才能成立，而不是"绝对成立"
: 很想知道当初解这个方程式的人为何可以这麽肯定等号是绝对成立的呢??
: 谢谢
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◆ From: 114.34.133.34
1F：推 funnypeter :请问要怎麽知道等号是成立於函数相同而不是单指函数 05/20 00:32
2F：→ funnypeter :值呢? 我文章後面的f(x)=g(y) 为何我们知道那是单指 05/20 00:32
3F：→ funnypeter :函数值相同的情况而非函数相同? 05/20 00:33
4F：→ endlesschaos:f(x)就是一个函数啊 f(1)才是指f(x)在 x = 1 时的函 05/20 00:38
5F：→ endlesschaos:数值 所以当你写出 f(x) = g(y) 时 其代表的意义就 05/20 00:39
6F：→ endlesschaos:是「函数相等」而非「函数值相等」了 因为f(x)是对 05/20 00:40
7F：→ endlesschaos:於所有的 x 代入都会满足的函数式子 同理 g(y) 也是 05/20 00:40
8F：推 funnypeter :喔喔!!! 我明白了 05/20 00:43
9F：→ funnypeter :我一直以为那有可能是函数值相等的情况 不一定专指 05/20 00:44
10F：→ funnypeter :函数相同 原来是在这里我搞错等号的意义了 谢谢你!! 05/20 00:44
11F：→ funnypeter :奉上1000P 太感谢了 05/20 00:45
12F：→ endlesschaos:感谢楼上 05/20 08:28