作者ownlai (旺来)
看板Math
标题Re: [中学] 100中和高中教师甄选
时间Sat May 14 15:15:54 2011
※ 引述《RainIced (我好想念快速的宿网)》之铭言：
: 1. N 为三位数，是11的倍数。且 N/11 为N的各位数字的平方和。
: 试找出所有的N 。
: 2. p、q 为正整数，
: p/q = 1-1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 +.....-1/1318 + 1/1319
: 证明 p 可被 1979整除。
: 想问这两题该如何写？谢谢。
1. 令N = 100x + 10(x+y) + y, x y 个位数整数且 x != 0
N/11 = (110x + 11y)/11 = 10x + y = x^2 + (x + y)^2 + y^2
= 2x^2 + 2y^2 + 2xy
2x^2 + 2y^2 + 2xy - 10x - y = 0
2x(x + y -5) + y(2y - 1) = 0 => y(2y - 1) > 0 or y = 0
=> x + y < 5 or y = 0
2 | 2x 且 2 不| (2y-1) 所以 2 | y => y = 0 or 2 or 4
(1) y = 0 => x = 5 => N = 550
(2) y = 2 => x(x-3) + 3 = 0 => 无
(3) y = 4 => x(x-1) + 14 = 0 => 无
2. 1 - 1/2 + 1/3 -...... = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1319
-(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/659)
= 1/660 + 1/661 + ... + 1/1319
(最前跟最尾项配 第二项配倒数第二项 ...)
= (660+1319)/(660*1319) + (661+1318)/(661*1318) + ...
= 1979 * K
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.30.32
1F：推 G41271 :1/(660*1319)+1/(661*1318)+...会是整数吗 05/14 15:23
2F：→ G41271 :喔我误会题目了 拍谢 05/14 15:24
3F：→ ricestone :反正也还是得要说明1979是质数所以不会被破坏 05/14 15:29
※ 编辑: ownlai 来自: 140.112.30.32 (05/14 15:34)
4F：→ snew1209 :1.CASE2:N=100x+10(x+y-11)+y 05/14 16:24
5F：推 RainIced :感谢! 05/18 20:10