作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
标题Re: [分析] 能否构造出满足以下条件的函数序列
时间Sun May 1 12:37:12 2011
这篇构造h：R→R，严格递增连续，h(Q)=Z[1/2]
我们先定h：Q→Z[1/2]
首先先把整数n都定好 h(n)=n
之後我们可以把眼光集中在[0,1]，之後每个区间照作就是了
我取Q 交 [0,1] 一个特定的顺序
0,1, 1/2, 1/3,2/3, 1/4,3/4, 1/5,2/5,3/5,4/5,... (其实就是最普通的顺序)
我要一个一个定义h的值：
前两个已经定好了
从第三个开始规则是：
设欲定义的元素为x，已定义的元素把[0,1]分割为若干区间，
若 x落在[y,z]这个区间，则定 h(x) = [h(y) + h(z)]/2
例：
h(1/2) = 1/2
h(1/3) = 1/4, h(2/3) = 3/4
h(1/4) = 1/8, h(3/4) = 7/8
h(1/5) = 1/16, h(2/5) =3/8, h(3/5) = 5/8, h(4/5) = 15/16
Check: well define, 严格递增 这都简单
Check: surjective 比较麻烦一点
最後由递增函数的性质，知h可唯一延拓到R上，且满足所要的性质。
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代数几何观点！
Algebro-Geometrical Aspect!
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