作者rachel5566 (rachel5566)
看板Math
标题[复变] pole expansion 和 product expansion
时间Tue Mar 22 20:34:47 2011
关於pole expansion的推导
f(z)，假设 0 < |a_1| < |a_2| < ... < |a_n| 为poles，然後b_n是residue
那麽f(z)可以展成
∞ ┌ 1 1 ┐
f(z) = f(0) + Σ (b_n)│ ──── + ─── │
n=1 └ z-(a_n) a_n ┘
证明老师写:
I_n = (1/2πi)∫{f(w)/[w(w-z)]}dw
= (1/2πi)∫[f(w)/z]{[1/(w-z)]-(1/w)}dw
n
= [-f(0)/z] + [f(z)/z] + Σ {(b_m)/[(a_m)(a_m-z)]}
m=1
我想问第三项怎麽来的?
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product expansion
一个对全部z都解析的函数f(z)可写成 f(z) = (z-a_n)g(z)
然後老师证明写:
f'(z)/f(z) = [1/(z-a_n)] + [g'(z)/g(z)]
∞
= [f'(0)/f(0)] + Σ {[1/(z-a_n)]+(1/a_n)}
n=1
我不太懂第二个等号怎麽推过去的，应该跟pole expansion有关吧!?
先感谢回答罗!
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Maxwell's equations in the matter: ┌───┐ ┌───┐
┌──────┐┌──────┐┌────┘ → │┌──────┘ → │
│ → ││ → ││ → δＢ ││ → → δＤ │
│ ▽‧Ｄ = ρ││ ▽‧Ｂ = 0 ││▽╳Ｅ = －── ││ ▽╳Ｈ = Ｊ + ── │
│ f││ ││ δt ││ f δt │
└──────┘└──────┘└────────┘└──────────┘
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