作者arrenwu (迎接幸福的未来)
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标题Re: [微积] Lagrange multiplier 的原理
时间Tue Mar 22 00:29:45 2011
※ 引述《kuromu (kuromu)》之铭言：
: 若 g(x,y,z,v) = 0
: h(x,y,z.v) = 0
: 求 f(x,y,z,v) 的极值
: 可从 ▽f = λg + μh 找到
: 书上好像会从代数证明或解释几何意义
: 但是 也可看成是一个新函数
: F(x,y,z,v,λ,μ) = f(x,y,z,v) + λg(x,y,z,v) + μh(x,y,z,v)
: 在没有限制式的条件下找极值
: 请问这样的新函数
: 能找出旧函数在有限制式的情况下的极值
: 是巧合或者有什麽原因
: 或者直观上这个新函数有没有特殊意义
: 感谢
这边我提供你一个想法。因为只是想法，所以没有严谨的证明。
看一个比较简单的问题：
在满足 g(x,y) =0 的情况下，求 f(x,y) 的极值。
满足 g(x,y) 的所有点显然是一个维度的，所以写成 ( x(t),y(t) )，
其中 t 是描述满足 g(x,y)=0 的点的参数。
所以这时候的 f(x,y) 就变成了 f(x(t),y(t)) ，一个一维的函数。
而集值的产生，是在 df/dt 上，所以得到使得 f 产生极值的 t, 假定是 t0, 要满足
fx*x'(t0) + fy*y'(t0) = 0 ......(1)
而我们从 g(x(t),y(t)) = 0 可以得到
gx*x'(t0) + gy*y'(t0) = 0 ......(2)
由 (1),(2) 可以看出 fx fy gx gy 在极值发生时的比例关系，
gx(x(t0),y(t0)) = λfx(x(t0),y(t0))
gy(x(t0),y(t0)) = λfy(x(t0),y(t0))
加上本来就有的 g(x(t0),y(t0)) = 0 就变成你看到的 Langrange Multiplier
多维变数跟多边界的情况也是类似。用矩阵的型态写会更容易看出关联。
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◆ From: 220.135.249.109
1F：→ kuromu :谢谢你的回答 但是我是想问说为什麽会想到要考虑 03/22 00:57
2F：→ kuromu :造出 F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)这个函数 03/22 00:58
3F：推 G41271 :人家厉害呀 数学就是天外飞来一笔才会漂亮 03/22 01:01
4F：推 math1209 :kuromu:你的问题只是在於你得看懂 Lagrange 乘子法 03/22 01:26
5F：→ math1209 :的几何证明. 03/22 01:27
6F：→ math1209 :基本上, 比较接近线性代数的应用~ 03/22 01:27