作者kusoayan (玮哥)
看板Math
标题Re: [证明] 几题证明、排组请教大家
时间Tue Mar 15 21:26:31 2011
※ 引述《JohnMash (Paul)》之铭言：
: ※ 引述《kusoayan (玮哥)》之铭言：
: : 2.
: : 设A为3x3的方阵。
: : 对任何三维向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| (两个向量外积的绝对值)
: : (1) 设u、v、w为三维向量，互相垂直且长度为 1，
: : 证明 Au x Av 和 Au x Aw也是互相垂直且长度为 1
: : (2) 证明 |Au| = |u| 对所有三维向量u 均成立
: let A =[x y z] where x, y, z are column matrices
: let u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t
: then
: |x×y|=|y×z|=|z×x|=1
: let u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t
: then |(x+z)×y|=√2
: |x×y+z×y|=√2
: by Pythagorean Theorem
: (x×y) and (y×z) are othogonal
如果我只假设 u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t
然後直接用题目给定的性质
|Au x Av| = |u x v| = 1 ..................................(1)
|Au x Aw| = |u x w| = 1 ..................................(2)
|A(w+u) x Av| = |(u+w) x v| = |uxv + wxv| = =√2 .........(3)
然後由(1)(2)(3)和毕氏定理
一样可以得到第一小题的结果吗 ?
那假设x y z 是为了第二小题吗 ?
: Similarly, (x×y)=e3, (y×z)=e1, (z×x)=e2 are all othonormal
: [(y×z)^t] [x y z]=[x.(y×z) 0 0]
: [(z×x)^t] [0 y.(z×x) 0]=x.(y×z) I
: [(x×y)^t] [0 0 z.(x×y)]
x.(yxz) = y.(z×x) = z.(xxy) ?
: hence x=(x.e1) e1
: y=(y.e2) e2
: z=(z.e3) e3
: then x=±e1, y=±e2, z=±e3
: then A.A^t=I
: Done.
最後一步这里我看不太懂 可以麻烦前辈再解释一点吗@@?
谢谢!!
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