作者raincole (冷雨)
看板Math
标题[集合] 函数有多少个？
时间Fri Dec 31 18:26:30 2010
例如说这样一个集合S={f|f:N->N}，它的基数是多少？
我想应该不可能跟自然数一样多吧，但是它和实数一样多吗？
实数是0.a1a2a3...这样的型式，上述的f也可以表示成这样(如f(x)=2x可以表示成0.246..
)，但是实数的a是在一个有限的范围内(如十进位表示时0<=x<=9)，f的a则有可数无限种，
感觉上S似乎比R大才对，不过我知道对集合基数大小的直觉观感通常是错的……
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 113.61.198.13
1F：推 mzhrqoc01 :整数可以用质因数分解成2^a*3^b*.....而a,b,c是整数 12/31 18:42
2F：→ mzhrqoc01 :而整系数多项式可以用x^n的系数表示成（a,b,c,...） 12/31 18:43
3F：→ mzhrqoc01 :所以这个多项式可以和整数一一对应--我曾经看过有书 12/31 18:44
4F：→ mzhrqoc01 :是这样说的，仅供参考。 12/31 18:45
不太领悟耶……我不懂你要表达的意思，这跟我的问题有关吗？
5F：推 ntnusliver :原PO说的 欠一个方向 12/31 21:54
6F：→ ntnusliver :想办法 把S里的东西都去1-1对到 R里面 12/31 21:54
呃，这个我还知道，问题是我无法想出这个对应，也无法证明他不存在（汗）
（我知道怎麽证明「N的所有子集的集合」跟R一样大这个……但是这和我的原问题又不太
一样)
7F：→ yhliu :f:A->B, A中每一元素可以对应到B中任一元素, 因此其 12/31 21:54
8F：→ yhliu :基数同於 B^A. [0,1)中实数的小数展式相当於N->{0,1} 12/31 21:56
9F：→ yhliu :的函数, 其基数同於 2^N, 而 2^N 同於 R. 12/31 21:56
10F：→ yhliu :写错...二进位才是 N->{0,1}, 12/31 21:58
11F：→ yhliu :十进位是 N->{0,1,...,9}. 12/31 21:58
12F：→ yhliu :N->N 的对应 = ∪(N->{1,2,...,n}的对应). 12/31 22:00
13F：→ yhliu :所以 N^N 的基数应该是同於 R. 12/31 22:00
14F：→ yhliu :好像说不通...orz 12/31 22:02
※ 编辑: raincole 来自: 113.61.198.13 (01/01 01:14)
15F：→ mzhrqoc01 :我的意思是可不可以把（0,2,4,6,8,...）对应到 01/01 03:09
16F：→ mzhrqoc01 :(2^0)*(3^2)*(5^6)*(7^8)，这样似乎就可以把函数f对 01/01 03:11
17F：→ mzhrqoc01 :应到整数上。 01/01 03:11
18F：→ mzhrqoc01 :上面应该是(2^0)*(3^2)*(5^6)*(7^8)*..... 01/01 03:12
19F：→ mzhrqoc01 :推完第二次文才发现我想错了....................orz 01/01 03:27
20F：推 ppia :计自然数集合的基数为 N_0 原po你说的那个集合基数为 01/01 11:59
21F：→ ppia :N_0^N_0 ≦ (2^N_0)^N_0 = 2^(N_0 xN_0) = 2^(N_0) 01/01 12:01
22F：→ ppia :而显然 2^(N_0) ≦ N_0^(N_0) 由Schroeder Bernstein 01/01 12:02
23F：→ ppia :知 #(|R)=2^(N_0)=N_0^(N_0) 01/01 12:03
24F：→ ppia :上面那些指数律的操作虽然都只是形式上的 但其实对 01/01 12:04
25F：→ ppia :基数都成立, 另外 N_0 x N_0 = N_0 可以直接证明 01/01 12:05
26F：→ ppia :也就是证明"a countable union of countable sets is 01/01 12:05
27F：→ ppia :again countable" 但其实对任何无限集A都有 01/01 12:06
28F：→ ppia :#(AxA)=#A 01/01 12:06