※ 引述《prospect (庸人自扰)》之铭言： : 如题▽^2(1/r)= -4π*脉冲函数(r向量) : 其中r=空间中一点至参考点的距离。 : 抱歉…很多数学符号不会用bbs打出来…直接用文字说明。 : 主要是想知道中间的详细过程，能否有高手能告知，谢谢。 2 ^ 2 ^ 2 ^ ▽ (1/r) = ▽‧▽(1/r) = ▽‧(-r/r ) = -▽‧(r/r )，其中r是单位向量。 理论上，这个式子应该要符合Divergence Theorem： ^ 2 ^ 2 → ∫ ▽‧(r/r ) dτ = ∮ (r/r ) da V S 先看右边：假设我们设定S是以参考点为球心，半径为R之球，则右边 ^ 2 2 ^ = (r / R )‧4πR r = 4π ^ 2 再看左边：如果▽‧(r/r )很正常，那可以套用球座标系的divergence： ^ 2 1 d 2 1 ▽‧(r/r ) = ── ── (r ‧── ) = 0 (找不到偏微分的符号...) r^2 dr r^2 左边就是0。 这样看来，Divergence Theorem是不可能错的，却导到这样一个荒谬的结论。 右边式子不可能错，左边，由於r = 0时，左边那串东西会发生问题。 因此答案应该是4π。 由於我们没有假设R是多大，所以说不管R多大都还是4π。 这也就是说，贡献并不是来自於r = 0以外的地方。 若把R缩的很小，只要有包住r = 0，都还是4π。 因此我们可以断定，r = 0一定是造成4π的来源。 在r = 0时，散度趋近於无限大，但是积分起来又是个定值(4π)。 我们就先定义一个叫做Dirac delta function的东西(虽然它不是真正的函数) 3 0, r ≠ 0 3 δ (r) = , ∫ δ (r) dτ = 1 ∞, r = 0 整个空间 ^ 2 ^ 2 回到刚刚的情形，∫ ▽‧(r/r ) dτ= 4π = ∫ ▽‧(r/r ) dτ V 整个空间 (反正外面的散度是0，所以对整个空间作积分不会影响值) ^ 2 3 根据上面的定义，就可以知道：▽‧(r/r ) = 4πδ (r) 2 3 所以说：▽ (1/r) = -4πδ (r) 就是这麽来的。 --

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