作者lavifoxbat (花次郎)
看板Math
标题Re: [微积] 关於dx^n/dx的证明
时间Mon Jul 24 14:42:33 2006
※ 引述《pobm (气吞万里如虎)》之铭言：
: 我看到的都是用二项式定理证明
: 可是f(x)=x^n
: 当n为一个有理数
: f'(x)依然=n(x^n-1)
: 所以这代表二项式定理可以延伸到指数是有理数时罗
: 不知道有没有大大能给出二项式定理的证明(当指数是有理数时也成立)
: 谢谢
: ^^
1.由e的定义可以得到 de^x/dx = e^x
2.接着由反函数微分及连锁率得到
1 = dx/dx = d{ln(e^x)}/dx = (d{ln(e^x)}/de^x)*de^x/dx
令 y = e^x, 则 d(lny)/dy = 1/y
3.dx^n/dx = d{e^ln(x^a)}/dx, 用连锁率
= {e^ln(x^a)}*d{ln(x^a)}/dx
= (x^a)*d(a*lnx)/dx
= (x^a)*a*(1/x)
= a*x^(a-1)
Done.
括号有点多,自己在纸上导一次吧,重点是把指数函数用 e 和 ln 表示出来,
接着用连锁率.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.182
1F：→ lavifoxbat:用这种方法,a可以是一般的非零实数 07/24 14:43
2F：推 pobm:谢谢^^~~这个方法真不错~~很广 07/25 14:53