这次我们这一组所要报告的主题是微积分,微积分是数学最基本但是也是最重 要的一门学问,原先我们准备报告微积分的一些历史发展,重要技巧和最伟大的微积分 基本定理等等.但是我怕报告这些东西对於数学系的同学来说这实在是有点"了无新意", 所以我们这一组采取的是分别去探讨微积分进一步在电脑上工程上或是物理的应用, 希望这样子可以让数学系的同学了解微积分伟大和奥妙的地方,能够让同学更进一步 有更多的动力和乐趣学数学. 我选择了的主题是比微积分再近阶一点点的变分学(Variation of calculus), 因为在这里同学们只需要有一点点微积分的概念和微积分最重要的技巧----分部积分 integration by part即可以了解出我这次所要报告的主题和内容,我整个报告的核心 即是欧伊勒方程式(Euler's equation) 其实变分只是微积分的一个变形,只是他讨论的是一个特别的函数的极值,就是在一 个定积分下的函数,此函数他是由应变数和应变数的导数所构成,我们想要知道此积分函 数的极大或是极小值为何,这个问题的解就是Euler's equation时有极值产生. 接下来我希望能藉着变分学的方法能够跟老师和同学报告,如何利用变分法来解决古典三 个有名的问题 1.短程线问题[Geodesic Problem] 即欧氏空间中二点间距离最短为直线 2.等周长问题[Isopermetric Problem] 即固定周长的封闭曲线所能围成最大面积为圆 3.最速下降曲线问题[Brachistochrone Problem] 实际上就这三个问题来说,在变分学发展之前就已经解决,可是他们的普辩解法在哪里呢? 在当时的人们认为由於他的广度深度太过复杂,以至於人人望之却步去尝试找出这问题的 一般系统化的解决方法,其实乍看之下,这三个问题除了第三个问题的答案比较不"直观", 前二个问题的答案都是我们从小时候被教育甚至视为理所当然的问题,但是这三个问题 的解法再当时人们是认为高不可攀,前景遥远且渺茫.一直到18世纪中叶变分学发展完全 的时候才告一段落,其中贡献最大的就是当时世界上公认最伟大的二大数学家,他们分别 是瑞士的欧伊勒(Euler Leonhard 西元1707-1783)和义大利裔的法国数学家拉格朗日 (Lagrange Joseph Louis西元1736-1813） 这个历史的源起事这样子的,在17世纪末,由於微积分的崛起已经将单变数连续 函数甚至多变数连续函数的极大和极小问题得到彻底的解决,数学界为之欢欣鼓舞.但是 正当人们额手称庆之际,突然有一个人提出了一个问题而掀起一场轩然大波. 故事是发生在1696年,在瑞士巴塞尔城(Basel)一名医生向全欧洲数学家挑战一 个问题,这个医生就是约翰．伯努力(Johann Bernoulli西元1667-1748),这就是历史上 最有名的数学家族伯努力的成员之一,他後来成为巴塞尔大学的数学教授,他最得意的门 生就是欧以勒(Euler Leonhard 西元1707～1783) 约翰．伯努力提这问题就是赫赫有名的最速下降曲线问题[Brachistochrone Problem] 即假设在垂直平面内有二个任意二点A和B,其中A点比较高,假设有一个质点由A点下滑至 较低点B,不计摩擦力,问这质点沿着什麽样的路径下滑可以花最短的时间呢? 这问题看似容易,其实并不简单,连当时二大数学泰斗54岁的牛顿和50岁的莱布 尼兹都被卷入了这场智力争斗的挑战,敏感的数学大师们立即感到这个问题的潜在力量, 於是开始有人预感可能会有一种新的数学思想正在萌动,虽然这问题後来几乎同时有五 个人解出来他们分别是约翰．伯努力和他的哥哥杰可布．柏努利(Jacob Bernoulli西元 1654-1705)和牛顿及来布尼兹和法国的数学家罗必达, 不过也许是因为那些数学大师年事以高或是为其他课题 忙碌,令这医生失望的是,他对挑战者的答案并不满意,因为他的初衷是期待有人可以从 论证过程中找出同类问题的途径.後来他告诉他的学生欧以勒这三大问题其实是同一类 问题的典型,1728年年仅21岁的Euler解决了短程线问题,之後1728-1755年他努力不懈的 努力取得一定的成果,但是他自知解法常常太过复杂而难以把问题系统化,而就在此时出 现了Lagrange,Euler为他指名方向同时竭尽全力帮他进行研究. 1759年,Euler夙兴夜寐,宵衣旰食 苦心钻研31年研究的那类问题终於告一段落了, 他把他取名为变分法,即将送往柏林科学院发表,但是正当此时他收到Lagrange呈交给 Euler批改的这方面论文,Euler看了以後欣喜备至,立即回信盛赞Lagrange不凡的成就, 他作了一个决定,他决定不发表自己的论文转而去协助Lagrange补充和修改使之为更完 善的论文,於是在Euler的指导之下,23岁的Lagrange获得了创建变分学的伟大声誉.而最 令人激赏的是Euler的伟大风范,他使得全欧洲的数学家更加景仰和敬佩.於是人们建议 在数学史上公认了变分学是Euler和Lagrange共同创立的. Lagrange出生於义大利西北部的杜林 (Turin),他年轻的时候就已经斐声於欧洲 的数学界,1958年在当地的有识之士的支持下,他创办了杜林科学院,并且经常为该院的期刊 积极撰稿,他写了很多具极高价值的的文章,内容包括微积分在物理以及天文上的应用,以及 数论,变分学和偏微分方程等等领域,他在1764和1766年分别解决了巴黎科学院所提出的天 文物理的问题而获得大奖,就在这一年当Euler接受了俄国女皇的聘请回圣彼得堡工作时 辞掉了他在柏林科学院物理数学所所长的职位时,Euler推荐了Lagrange作他的继任人选,当 时的普鲁士国王亲自写信给他，赞扬欧洲最大之王希望欧洲最伟大的数学家来到柏林科 学院,年仅三十岁的Lagrange在科学院工作了整整二十年,他运用数学来解决天体力学方 面的问题，所使用的方法及其所取得的成果，受到了同时代科学家们的高度赞扬. . 在1788年Lagrange最伟大的着作--分析力学(Mecanique Analytique)问世了 这一本书是他在19岁时开始酝酿的,花了他大半生的心血直到他52岁时才完成这本书 这本书的精采之处是他应用了当时最新的数学分析方法,而且整本书完全没有一张图形 他曾经说:我在这本书里面所阐明的方法,既不要作图也不要求几何或是力学的推理,而只 是遵照一些正规程序的分析运算,喜欢分析的人将高兴的看到力学变为它的一个新的分支 并将感激我扩大了它的领域.的确,这是一部划时代的巨作,他增进和完善了牛顿的工作,被 认为是牛顿之後的一大经典力学着作,後人评论它是'现代力学的基础','将动力学推进到 登峰造极的地步',Lagrange对变分学最大的贡献是他赋予了变分学重要的物理意义,并且 开启了物理的解析力学(Analytical Mechanics)的先端,他利用数学分析的方法应用於质 点和刚体力学中,证明了力学这门学科可以应用在这单独的原理上,我们可以利用 Euler-Lagrange方程式推出和牛顿一样等价的运动方程式,这方法常常更能解决和简化物体 运动的问题,Lagrange利用变分原理,建立了优美而和谐的力学体系. 接下来我觉得值得介绍给同学的一个额外的收获是最小最用量原理 (Least Action Principle).从变分法演变到解析力学,在物理上经过许多数学家和物理 学家努力不懈的的努力,一直到爱尔兰数学家汉米尔顿 (William Rowan Hamilton 1805-1865)在西元1834和1835年二篇论文中,他 所提出来的 Hamilton's Principle即最小作用量原理才算是大功告成,这个叙述如下: 在一个动力系统之下,在组态空间中物体所走的实际路径就是必须沿着 Lagrangian函数对时间积分有极值的那一条路径,才是物体真正所走的路径? 用数学来表示 t2 . S =∫ L(q,q,t) dt = extreme 其中 t1 L:Lagrangian函数 t2 . ∫ L(q,q,t) dt 在这里就是定义为作用量 t1 注:Lagrangian函数即是动能-位能,其中动能 T=T(q,q,t) 位能U=U(q,t) . q:广义座标, q:广义速度 t:时间 这也是我这次所要报告的重点之一,因为最小作用量原理是数学和古典物理史上的一大成 就,它的理论基础就是建立在变分学上面,最小作用量原理对动力学规律作成功的描述,透 过力学的路径,它应用分析方法论正牛顿的种种公设,认为他们都符合自然经济的原理,我 们可以从这体会到物体好像'有意识'一样的在自然界选择一条作用量最小运动的路径是不 是非常不可思议呢?这也是我觉得非常奇妙的,也是为什麽我选择为这次所要报告的主题. 最後说说我对这堂课的感想和老师的建议,我觉得这门课包罗万象,五花 八门的把大学数学的轮廓和重要概念都有涵盖,而且大部分同学们都很认真参与和准备,让 我收获蛮多的,我建议下次老师有这样的机会再开这样的课可以希望同学能够把他们 的资料能够影印或是放在网路上让我们看,因为毕竟学数学用类似看电影或是听演讲的方式 很难真正体会当中的个中奥妙,这样子也许我们能够学更多更紮实,还有让我有一个想法和 启发,就是其实如果要提升系上的读书风气和学数学的风气,最好我们系上可以组成一个类 似数学俱乐部的团体,因为其实课外的或是系上没开的数学有很多有去和奥妙的地方可以 欣赏,让真正对数学有兴趣和狂热的一起讨论和砥砺,在课外中真正有心想要学习的人为 学问而学问常常比较能自己有独立思考的空间,当然这也许只是理想啦,还希望老师们如果 有时间可以发起这个活动或是办个俱乐部,从以前听过老师的几何课一直觉得老师教的很棒 能够让学生对数学更有感觉和兴趣,如果老师真的能作这种'功德',私下能够指导学生那就 是未来学弟妹的福气了,我是觉得这样子的方式学习还蛮不错的 -- --

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