※ 引述《FAlin (FA（バルシェ应援）)》之铭言： : 4. Let ABC be an acute triangle with orthocenter H, and let W be apoint on : the side BC, between B and C. The points M and N are the feet of the : altitudes drawn from B and C, respectively. ω_1 is the circumcircle of : triangle BWN, and X is a point such that WX is a diameter of ω_1. : Similarly, ω_2 is the circumcircle of triangle CWM, and Y is a point : such that WY is a diameter of ω_2. show that the points X, Y, and H are : collinear. : 5. Let Q>0 be the set of all rational numbers greater than zero. Let : f: Q>0 → R be a function satisfying the following conditions: : (i) f(x)f(y) ≧ f(xy) for all x,y ∈ Q>0, : (ii) f(x+y) ≧ f(x) + f(y) for all x,y ∈ Q>0 : (iii) There exists a rational number a>1 such that f(a) = a : Show that f(x) = x for all x∈Q>0. : 6. Let n≧3 be an integer, and consider a circle with n+1 equally spaced : points marked on it. Consider all labellings of these points with the : numbers 0,1,..., n such that each label is used exactly once; two such : labellings are considered to be the same if one can be obtained from : the other by a rotation of the circle. A labelling is called beautiful : if, for any four labels a<b<c<d with a+d=b+c, the chord joining the : points labelled a and d does not intersect the chord joining the points : labelled b and c. : Let M be the number of beautiful labellings and let N be the number of : ordered pairs (x,y) of positive integers such that x+y≦n and : gcd(x,y)=1. : Prove that M = N+1. -----------------------------第六题防雷------------------------------------- 首先把N+1解释成ΣΦ(i) i=1,2,...,n，并把n=3.4.5.6.7的情况画出来观察， 我们对n归纳。 因为我懒所以把beautiful labelling写成BL well known：n的BL去除m+1~n并重新调整位置会变m的BL 我宣称以下几件事会成立： (1)0~n的BL中相加为n的弦全部平行，如果n=2a则aa弦变为在a处的切线。 (2)每个0~n的BL可以在某处插进n+1变成0~n+1的BL。 (3)将0~n的BL拆成以0开头的直线排列(直线BL)，以n结尾的恰Φ(n)个。 (4)在如此的直线排列中若n+1不插在尾则有至多一种插入n+1的方法。 以上几点配合归纳中提到的东西可以证明这题。 根据精辟的观察n=3.4.5.6.7时以上都会成立，此为奠基。 (1)n=2k+1时因n=2k-1是对的，将2k+1的BL去除0,2k+1时由归纳假设此时所有相加为 2k+1的弦会平行，现在插回0,2k+1，如果使此弦不与其它弦平行则会相交。 n=2k+2时做法同上，只需多讨论一种状况：设去除0,2k+2後k+1两侧的点分别为 m,2k+2-m，0,2k+2插进m,k+1中间的状况。但这样k+1---m, 0---m+k+1两弦会相交。 (2)要证明0~n的BL可以在某处插进n+1。 现在把一个n的BL里的0去除，由(1)所有相加为n+1的弦就以某条线线对称。 设以CC对称设原本的0在位置A，A对CC的线对称A'可以放n+1使上面的1~n+1是BL， 最後只需考虑相加为n+1的弦是否相交，因为只需考虑0,n+1同时存在是否会变非BL。 但是现在相加为n+1的弦都平行 (3)假设是0,a1,a2,...,a(k-1),k 如果有i<j<l使ai+al=aj模k，则ai+al-aj=0,k其中之一，取0---aj, ai---al 或aj---k, ai---al就相交。 现若a2=\=2a1则a2後方有a2-a1，故a2=2a1，同理可得ai=ia1 这样则要求(a_1,k)=1。若真如此，它显然是个BL。 (4)加重命题，如果一个n的直线BL可以用两种方法插入n+1变成n+1的直线BL， 一定是插在0後面或最後面。此等价於原本环形的BL若能以两种方法插入，必是插在 0的两侧。 我们取一个n+1的直线BL，等价於从一个n的直线BL插入n+1，将最前面的0除去并把 所有数减1後这个插入的动作变成从一个n-1的环形BL插入n，但我们已经决定了哪 边要插回0，这样组合起来的个数和n的直线BL一样多。由归纳假设至多插一处，除 非插在0(原本的1)的两侧，注意如果原本1在0後面或最尾端n可以插在第1,2或最 後一个位置，注意如果1在第a个位置则可以放在第a-1,a个位置。但这样全部反运 算对应回n+1的直线BL後有一种会让0---n+1和1---n相交。故至多一种位置。特别的 第一种状况只能放第1个位置。 ----------------------------------------------------------------------- 由(2),(4)，只有一种插法的直线BL那种插法就会让n的直线BL对应成n+1的直线BL， 有两种插法的一种在0後面一种在最尾端，由(3)可以得到两种插法会对应成n+1直 线BL的条件等价：(a1,n+1)=1或(n+1-a1,n+1)=1，所以两种都是。 ----------------------------------------------------------------------- 现在有n的BL个数=n-1的BL个数+Φ(n)，by induction and we are done. ----------------------------------------------------------------------- 我在考场时写出了(3)(4)并得出M<=N+1，此时原命题deduced to(1)，但(1)是 官方解的lemma， 最後因为有个俄罗斯队员和我写的一样而拿到5，所以我拿5 (1)其实超强，说不定(1)可以直接推出(3)(4) (1)的确超强...有种这题只是要做(1)的感觉...求不用(1)的作法 虽然我的(3),(4)加上直接构造可以完成证明，而且对懒得观察出(1)的人似乎是唯 一好想的证法，但太不协调，求协调的不用(1)的归纳证明 其实这题可以纯粹当数论做...这是可以当数论的C7... 官方解有个占两分的lemma说0两侧的数必互质，不知有啥用但确实可由我的归纳顺 便得出。 可以看出不管多长，以0开头k结尾的直线BL恰Φ(k)个，我不知道能否直接证明。 拿分状况去掉星号只有两个美国队两个加拿大队个7，Jeck Lim被星号，合理推断 是他第二面满分。 应该是只比2006和2009的P6高分。 --------------------------------底部防雷----------------------------------- --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 200.69.102.144 ※ 编辑: cmrafsts 来自: 200.69.102.144 (07/27 10:04) ※ 编辑: cmrafsts 来自: 200.69.102.144 (07/27 14:06)