作者sufferlove (天然呆)
看板Gossiping
標題Re: [問卦] 自然數之和=-12分之1 是詭辯還是悖論
時間Sat Aug 26 03:10:22 2023
※ 引述《superRKO (挖洗RKO)》之銘言:
: 乳題
: 1+2+3+….無窮=-12分之一
: 阿問題是1+2就已經>-12分之1了,後面全加怎麼可能等於
: 還有啥混亂源頭,換成1-1+1-1+1…..=2分之1,根本扯蛋,
: 答案只會是0 or 1還跟你平均,而且無窮級數沒有收束
: 既然1-1+1這個不合理,那後面各種化簡、分解也沒意義啊
: 怎麼會導出=-12分之1
: 這是詭辯還是悖論? 還是這是物理學家得出的最佳解?
南無阿彌陀佛。
其實1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2也沒有那麼扯啦,這個叫做Cesaro sum。
我們以S_n表示數列前n項的和。
若
S_1 + S_2 + ... + S_n
-----------------------
n
在n趨近於無窮大時會收斂,則收斂到的值就被稱為數列的Cesaro sum。
還有另外一種東西叫做Abel sum。以a_n表示數列的第n項,則若
a_0 + a_1 x + a_2 x平方 + a_3 x三次方 + ...
在x從左邊趨近於1時會收斂,則收斂到的值就被稱為數列的Abel sum。
我們在微積分課程學到的那種無窮級數和叫做classical sum。
數學分析告訴我們:Cesaro sum推廣了classical sum,Abel sum推廣了Cesaro sum。
什麼意思呢?就是說一個數列若會收斂(即有classical sum),則該數列也會有
Cesaro sum,且其值與classical sum相同。又若一數列有Cesaro sum,則該數列
也會有Abel sum,且其值與Cesaro sum相同。
原PO說的1、-1、1、-1、...這種數列,是一個沒有classical sum,但有Cesaro sum
的例子,其Cesaro sum為1 / 2,因為Abel sum推廣Cesaro sum,當然也就知道Abel
sum也等於1 / 2囉。
簡便寫法:
1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2 (Cesaro) (括號裡的字是說考慮Cesaro sum)
1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2 (Abel) (括號裡的字是說考慮Abel sum)
南無阿彌陀佛。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.24.229.111 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Gossiping/M.1692990624.A.F72.html
1F:→ soilndger: 烙了一些專有名詞 但對理解這個題也沒220.138.117.105 08/26 04:54
2F:→ soilndger: 有什麼幫助220.138.117.105 08/26 04:54