作者Vulpix (Sebastian)
看板tutor
標題Re: [解題] 算幾不等式
時間Mon Jul 5 11:52:16 2021
※ 引述《wulongde (阿勒)》之銘言：
:
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：算幾不等式
:
: 4.題目：https://prnt.sc/18jejxp
: 5.想法：詳解的方法我看懂了，結果在教學的時候被學生問到一個問題，
: 就是為什麼不能直接用算幾不等式的等號成立條件列出x=4/(x-3)然後去解x？
: 解完之後也可以得到漂亮的答案，只是答案跟正確答案不同就是了＝＝
: 交叉相乘可以得到x^2-3x-4=0可以得出x=4,-1但-1不合因為題目說x>3
這應該是很基本的誤區。
https://i.imgur.com/J7MigFr.png
綠線是 y = x + 4/(x-3)
紅線是 y = 2√( 4x/(x-3) )
從圖上可以看出算幾不等式是「對的」，
兩線除了在 x=4 內切以外，綠線總是高於紅線。
但這對於找出 x+4/(x-3) 的最小值一點幫助都沒有。
問題其實不是「為什麼不能用 x=4/(x-3) 去解題？」
而是「為什麼 x-3=4/(x-3) 可以用來解這題！？」
因為對卻沒用的過程隨手寫都是一大堆，有用的過程為何有用才是重點所在。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
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1F：推 pbjojo: 推 07/05 12:40
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 07/05/2021 13:35:42
2F：推 wulongde: 謝謝V大的回覆，那張圖的資訊很清楚，小弟獲益良多0rz 07/05 22:47
3F：→ wulongde: 關於為什麼 x-3=4/(x-3) 可以用來解這題，小弟的想法是 07/05 22:49
4F：→ wulongde: 因為算幾不等式是>=，所以只要能發生等於的話就是最小值 07/05 22:50
5F：→ wulongde: 但是發生等於的條件是a=b，所以...0rz 07/05 22:50
確實如此。那完全是因為我們想用算幾不等式才想到要去找這條式子的。
再談談為什麼大家都說要湊常數、不要含 x。
從 4x/(x-3) 不難看出他在 x>3 的時候就是比 4 大。
但我們真能說 x + 4/(x-3) 的最大下界就是 2√4 = 4 嗎？
我們把整條不等式寫出來看看：
x + 4/(x-3)
≧ 2√( 4x/(x-3) )
＞ 4
所以原式確實比 4 大。
黃色的不等號，要在 x=4 的時候等號才會成立，
但藍色的不等號，卻要等到 x 接近 ∞ 才會讓兩側差不多。
也就是不管 x 是多少，x + 4/(x-3) 都無法靠近 4。
所以我們只能確定 4 是下界，卻沒有找到最大的下界。
這樣我們就看出來為什麼大家都在說不要留 x 了。
因為沒有藍色的不等號，就什麼瑣事都沒有了。
最後說一下，不留 x 這件事雖然方便，但不是做算幾不等式的必要手續。
(x^2 + x^4)/2 的最小值顯然是 0，但我們故意用算幾不等式去做做看，
畢竟算幾不等式裡面可以允許使用非負實數，而不限於正數：
(x^2 + x^4)/2
≧ 2√x^6 = 2|x|^3
≧ 0
我們一樣找到正確的最小值了。
這是因為黃色和藍色的不等號，這次等號成立的條件一致，
所以我們知道有個 x 會讓 (x^2 + x^4)/2 = 0，
這樣才能確定 0 是真正的最小值。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 07/06/2021 13:06:04