作者Vulpix (Sebastian)
看板tutor
标题Re: [解题] 算几不等式
时间Mon Jul 5 11:52:16 2021
※ 引述《wulongde (阿勒)》之铭言：
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: 1.年级：高一
: 2.科目：数学
: 3.章节：算几不等式
:
: 4.题目：https://prnt.sc/18jejxp
: 5.想法：详解的方法我看懂了，结果在教学的时候被学生问到一个问题，
: 就是为什麽不能直接用算几不等式的等号成立条件列出x=4/(x-3)然後去解x？
: 解完之後也可以得到漂亮的答案，只是答案跟正确答案不同就是了＝＝
: 交叉相乘可以得到x^2-3x-4=0可以得出x=4,-1但-1不合因为题目说x>3
这应该是很基本的误区。
https://i.imgur.com/J7MigFr.png
绿线是 y = x + 4/(x-3)
红线是 y = 2√( 4x/(x-3) )
从图上可以看出算几不等式是「对的」，
两线除了在 x=4 内切以外，绿线总是高於红线。
但这对於找出 x+4/(x-3) 的最小值一点帮助都没有。
问题其实不是「为什麽不能用 x=4/(x-3) 去解题？」
而是「为什麽 x-3=4/(x-3) 可以用来解这题！？」
因为对却没用的过程随手写都是一大堆，有用的过程为何有用才是重点所在。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾)
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1F：推 pbjojo: 推 07/05 12:40
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 07/05/2021 13:35:42
2F：推 wulongde: 谢谢V大的回覆，那张图的资讯很清楚，小弟获益良多0rz 07/05 22:47
3F：→ wulongde: 关於为什麽 x-3=4/(x-3) 可以用来解这题，小弟的想法是 07/05 22:49
4F：→ wulongde: 因为算几不等式是>=，所以只要能发生等於的话就是最小值 07/05 22:50
5F：→ wulongde: 但是发生等於的条件是a=b，所以...0rz 07/05 22:50
确实如此。那完全是因为我们想用算几不等式才想到要去找这条式子的。
再谈谈为什麽大家都说要凑常数、不要含 x。
从 4x/(x-3) 不难看出他在 x>3 的时候就是比 4 大。
但我们真能说 x + 4/(x-3) 的最大下界就是 2√4 = 4 吗？
我们把整条不等式写出来看看：
x + 4/(x-3)
≧ 2√( 4x/(x-3) )
＞ 4
所以原式确实比 4 大。
黄色的不等号，要在 x=4 的时候等号才会成立，
但蓝色的不等号，却要等到 x 接近 ∞ 才会让两侧差不多。
也就是不管 x 是多少，x + 4/(x-3) 都无法靠近 4。
所以我们只能确定 4 是下界，却没有找到最大的下界。
这样我们就看出来为什麽大家都在说不要留 x 了。
因为没有蓝色的不等号，就什麽琐事都没有了。
最後说一下，不留 x 这件事虽然方便，但不是做算几不等式的必要手续。
(x^2 + x^4)/2 的最小值显然是 0，但我们故意用算几不等式去做做看，
毕竟算几不等式里面可以允许使用非负实数，而不限於正数：
(x^2 + x^4)/2
≧ 2√x^6 = 2|x|^3
≧ 0
我们一样找到正确的最小值了。
这是因为黄色和蓝色的不等号，这次等号成立的条件一致，
所以我们知道有个 x 会让 (x^2 + x^4)/2 = 0，
这样才能确定 0 是真正的最小值。
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 07/06/2021 13:06:04