作者kai76527 (阿凱)
看板tutor
標題[解題] 高一多項式
時間Sun Apr 1 01:15:22 2018
1.年級： 高中一年級
2.科目： 數學
3.章節： 多項式
4.題目：
實數a, b滿足方程式:
a^3-3a^2+5a-4=0
b^3-3b^2+5b-2=0
求a+b
5.想法：
嘗試將此二式微分得其曲率方程式判別式小於0知道此二式皆只有一實根
不知解題方向，但實際將解求出相加後可得答案為2
已知答案後猜測題目出題方式發現
可將此二式看成(x-1)(x^2-2x+3)+1及
(x-1)(x^2-2x+3)-1
而又發現將+-1改成任意+-C後之不同方程式之各別兩實根之平均值皆為1
進一步驗證可知(x-1)(x^2-2x+3)點對稱於x=1處，故將此方程式曲線上下平移後與
x軸交點將與x=1位置等距離，故上一步之發現被印證。
將此思考邏輯逆過來寫即可有得到順向的詳解，但上述方法繞了許多步，且是我回家後
藉由計算機輔助方能推體出想請教是否有更簡易的方式供高一學生了解?
望各位幫忙解答，感謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.202.14
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※ 編輯: kai76527 (123.194.202.14), 04/01/2018 01:51:58
1F：推 Vulpix: 要用到三次函數圖形的對稱性，y=x^3-3x^2+5x對稱於(1,3)， 04/01 01:42
2F：→ Vulpix: 即(a,4),(b,2)對稱於(1,3) => a+b=2*1=2 04/01 01:44
3F：→ kai76527: 修文時沒看到V大的推文，感謝! 似乎更簡潔了，概念一樣 04/01 01:58
4F：→ kai76527: 但不須拆開來後才發現對稱性，似乎更能讓學生理解 04/01 01:59
5F：→ kai76527: 但還是有相同的問題，印象中高中課程似乎沒有涉及到三次 04/01 02:00
6F：→ kai76527: 函數的對稱性(奇偶函數有稍微提到) 04/01 02:01
7F：→ kai76527: 想問V大有無快速觀察對稱性的方式，還是說是從題目的-4 04/01 02:02
8F：→ kai76527: -2去猜測為合理的推法 04/01 02:03
9F：推 doa2: 配立方，變成(x-1)^3+2(x-1)-1=0的兩根為a,b 04/01 05:17
10F：推 doa2: 看錯，上面那個只有一根是a 04/01 05:19
11F：→ doa2: 也就是t^3+2t-1=0的根為a-1 04/01 05:20
12F：→ doa2: 同理(x-1)^3+2(x-1)+1=0的實根為b 04/01 05:20
13F：→ doa2: 也就是t^3+2t+1=0的實根為b-1 04/01 05:21
14F：推 doa2: 設f(t)=t^3+2t-1=0, 則f(-t)=-t^3-2t-1=0 04/01 05:23
15F：→ doa2: 可知a-1=-(b-1), 即可得a+b=2 04/01 05:24
16F：推 Vulpix: t^3+2t就是那個奇函數。 04/01 14:18
17F：推 Vulpix: 不直接用對稱性的話，也可以兩式相加，提出因式a+b-2，剩 04/01 14:28
18F：→ Vulpix: 下的另一因式恆正，這樣也能做。配方能讓計算更簡單。 04/01 14:28
19F：推 judy19970527: 一次因式檢驗法 然後剩下二次式 十字交乘 找出解 高 04/03 02:39
20F：→ judy19970527: 一的作法應該就這樣吧 04/03 02:39
21F：→ judy19970527: 現在的高一根本沒教微分什麼的 04/03 02:40