作者kai76527 (阿凯)
看板tutor
标题[解题] 高一多项式
时间Sun Apr 1 01:15:22 2018
1.年级： 高中一年级
2.科目： 数学
3.章节： 多项式
4.题目：
实数a, b满足方程式:
a^3-3a^2+5a-4=0
b^3-3b^2+5b-2=0
求a+b
5.想法：
尝试将此二式微分得其曲率方程式判别式小於0知道此二式皆只有一实根
不知解题方向，但实际将解求出相加後可得答案为2
已知答案後猜测题目出题方式发现
可将此二式看成(x-1)(x^2-2x+3)+1及
(x-1)(x^2-2x+3)-1
而又发现将+-1改成任意+-C後之不同方程式之各别两实根之平均值皆为1
进一步验证可知(x-1)(x^2-2x+3)点对称於x=1处，故将此方程式曲线上下平移後与
x轴交点将与x=1位置等距离，故上一步之发现被印证。
将此思考逻辑逆过来写即可有得到顺向的详解，但上述方法绕了许多步，且是我回家後
藉由计算机辅助方能推体出想请教是否有更简易的方式供高一学生了解?
望各位帮忙解答，感谢
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※ 编辑: kai76527 (123.194.202.14), 04/01/2018 01:51:58
1F：推 Vulpix: 要用到三次函数图形的对称性，y=x^3-3x^2+5x对称於(1,3)， 04/01 01:42
2F：→ Vulpix: 即(a,4),(b,2)对称於(1,3) => a+b=2*1=2 04/01 01:44
3F：→ kai76527: 修文时没看到V大的推文，感谢! 似乎更简洁了，概念一样 04/01 01:58
4F：→ kai76527: 但不须拆开来後才发现对称性，似乎更能让学生理解 04/01 01:59
5F：→ kai76527: 但还是有相同的问题，印象中高中课程似乎没有涉及到三次 04/01 02:00
6F：→ kai76527: 函数的对称性(奇偶函数有稍微提到) 04/01 02:01
7F：→ kai76527: 想问V大有无快速观察对称性的方式，还是说是从题目的-4 04/01 02:02
8F：→ kai76527: -2去猜测为合理的推法 04/01 02:03
9F：推 doa2: 配立方，变成(x-1)^3+2(x-1)-1=0的两根为a,b 04/01 05:17
10F：推 doa2: 看错，上面那个只有一根是a 04/01 05:19
11F：→ doa2: 也就是t^3+2t-1=0的根为a-1 04/01 05:20
12F：→ doa2: 同理(x-1)^3+2(x-1)+1=0的实根为b 04/01 05:20
13F：→ doa2: 也就是t^3+2t+1=0的实根为b-1 04/01 05:21
14F：推 doa2: 设f(t)=t^3+2t-1=0, 则f(-t)=-t^3-2t-1=0 04/01 05:23
15F：→ doa2: 可知a-1=-(b-1), 即可得a+b=2 04/01 05:24
16F：推 Vulpix: t^3+2t就是那个奇函数。 04/01 14:18
17F：推 Vulpix: 不直接用对称性的话，也可以两式相加，提出因式a+b-2，剩 04/01 14:28
18F：→ Vulpix: 下的另一因式恒正，这样也能做。配方能让计算更简单。 04/01 14:28
19F：推 judy19970527: 一次因式检验法 然後剩下二次式 十字交乘 找出解 高 04/03 02:39
20F：→ judy19970527: 一的作法应该就这样吧 04/03 02:39
21F：→ judy19970527: 现在的高一根本没教微分什麽的 04/03 02:40