※ 引述《blackmasker (..)》之銘言： : : 1.年級： 國三 : 2.科目： 數學 : 3.章節： 總複習考卷 : 4.題目： : 現有等臂天平一座，1克、2克、3克、......、21克等21種 : 不同重量的砝碼，請問最少須要幾種重量不同的砝碼， : 就可以秤出1克、2克、3克、.......、21克等21種不同重量的物品， : 請說明理由。(重量相同砝碼可有數個) 當你手上有兩個砝碼 a克、b克 (a>b)時， 1. 你就不需要「a+b」克 2. 你就不需要「a-b」克 ：因為你可以把 b與物體同放左側、a放右側 3. 你就不需要所有「差為a」、「差為b」、「差為a-b」、「差為a+b」的組合， 舉例來說，如果你有 a=8、b=3 這兩個，你就不需要 11 和 5 同時，若你另有一個 c=9 的砝碼，那你就不需要 9+8=17 、 9-8=1 、 9+3=12 、 9-3=6 、 9+5=14 、 9-5=4 、9+11 = 20 和 9-11=-2 轉變為 11-9=2 也就是說 3 個砝碼， 假設他們三個(3數)、兩兩相加減(6數)、三者加減(4數)皆不相同--我簡稱為節約組合 那就可以秤出13個數字。 a) 我上面的舉例中，第一排的四個數就是「兩兩相加減」連同11和5 共有 6個數 第二排的四個數就是「三者加減」 b) 可以想像，8、3、9 三數各自「是加or是減」會產生2的3次 = 8 個數； 但其中有一半是負的，所以只能算作4個數 c) 如果學過排列組合，應該可以理解「兩兩相加」是C3取2 = 3個數，相減也有3數 你也可以把「相加、相減，所以乘以2」 視為是取出的兩數「分別是加還是減 = 2的2次 = 4個」 再「有一半是負的 ÷2」 跟據以上的個推論，若我有4個節約組合的砝碼，隨便舉個例子：1、10、100、1000 隨便加減都不可能重複，就是我所說的「節約」； 則這四個砝碼共可以稱出 4 + C4取2 * 2 + C4取3 * 4 + C4取4 * 8 = 4+12+16+8 = 40 個數 那麼，題目要秤的1~21 目前為止知道「3個砝碼不夠、4個可能夠」 但，4個真的夠嗎？ 利用前面的討論經驗， 如果我有砝碼 1克，如果同時有 2 克 ，那2-1=1 就不「節約」了，所以我們先捨棄2 如果我有 1、3，就不需要2、4…… 那5呢？ 5-3 = 3-1 也不「節約」 你會發現，追求「節約」的話，下一個會找到 9 ，再下一個會找到27 這是因為每個砝碼可以選擇「與物體一起放在左盤(-)、放在右盤(+)、不放」 所以一開始是 1 後來除了1外，若第2個是x克，則可以稱出 x-1、 x 、x+1 共 四個數 那麼你就會發現，如果不希望遺漏數字的話，x應讓要「1之後的第2個 = 3」 這樣就可以秤出 1、3-1、3、3+1 也就是 1~4 再來加入第三個砝碼，假設是 a 克 那麼除了一開始的 1~4 外，還可以稱出 a-1~4 、a、a+1~4 我刻意把它們列出來，是 1、2、3、4、a-4、a-3、a-2、a-1、a、a+1、a+2、a+3、a+4 那你就會發現 a 這個數字「在4之後的第5個」也就是 9 而 1克、3克、9克 三個砝碼一共可以稱出 13 個數字，13也就是 1+3+9 = 13 同理，再找下一個，就會是 13之後的第14個 = 27 而 1克、3克、9克、27克 四個砝碼一共可以稱出 40個數字 所以回答問題，要稱出 1~21，需要4個砝碼 BTW，這題到底跟國三有什麼關係啊？ -- 有熊老師陪你教數學 (影片放在youtube頻道) YouTube 頻道 https://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook專頁 https://www.facebook.com/Teacher.Koala 歡迎前來分享教學心得 (也可以來問問題喲~~) --

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