※ 引述《blackmasker (..)》之铭言： : : 1.年级： 国三 : 2.科目： 数学 : 3.章节： 总复习考卷 : 4.题目： : 现有等臂天平一座，1克、2克、3克、......、21克等21种 : 不同重量的砝码，请问最少须要几种重量不同的砝码， : 就可以秤出1克、2克、3克、.......、21克等21种不同重量的物品， : 请说明理由。(重量相同砝码可有数个) 当你手上有两个砝码 a克、b克 (a>b)时， 1. 你就不需要「a+b」克 2. 你就不需要「a-b」克 ：因为你可以把 b与物体同放左侧、a放右侧 3. 你就不需要所有「差为a」、「差为b」、「差为a-b」、「差为a+b」的组合， 举例来说，如果你有 a=8、b=3 这两个，你就不需要 11 和 5 同时，若你另有一个 c=9 的砝码，那你就不需要 9+8=17 、 9-8=1 、 9+3=12 、 9-3=6 、 9+5=14 、 9-5=4 、9+11 = 20 和 9-11=-2 转变为 11-9=2 也就是说 3 个砝码， 假设他们三个(3数)、两两相加减(6数)、三者加减(4数)皆不相同--我简称为节约组合 那就可以秤出13个数字。 a) 我上面的举例中，第一排的四个数就是「两两相加减」连同11和5 共有 6个数 第二排的四个数就是「三者加减」 b) 可以想像，8、3、9 三数各自「是加or是减」会产生2的3次 = 8 个数； 但其中有一半是负的，所以只能算作4个数 c) 如果学过排列组合，应该可以理解「两两相加」是C3取2 = 3个数，相减也有3数 你也可以把「相加、相减，所以乘以2」 视为是取出的两数「分别是加还是减 = 2的2次 = 4个」 再「有一半是负的 ÷2」 跟据以上的个推论，若我有4个节约组合的砝码，随便举个例子：1、10、100、1000 随便加减都不可能重复，就是我所说的「节约」； 则这四个砝码共可以称出 4 + C4取2 * 2 + C4取3 * 4 + C4取4 * 8 = 4+12+16+8 = 40 个数 那麽，题目要秤的1~21 目前为止知道「3个砝码不够、4个可能够」 但，4个真的够吗？ 利用前面的讨论经验， 如果我有砝码 1克，如果同时有 2 克 ，那2-1=1 就不「节约」了，所以我们先舍弃2 如果我有 1、3，就不需要2、4…… 那5呢？ 5-3 = 3-1 也不「节约」 你会发现，追求「节约」的话，下一个会找到 9 ，再下一个会找到27 这是因为每个砝码可以选择「与物体一起放在左盘(-)、放在右盘(+)、不放」 所以一开始是 1 後来除了1外，若第2个是x克，则可以称出 x-1、 x 、x+1 共 四个数 那麽你就会发现，如果不希望遗漏数字的话，x应让要「1之後的第2个 = 3」 这样就可以秤出 1、3-1、3、3+1 也就是 1~4 再来加入第三个砝码，假设是 a 克 那麽除了一开始的 1~4 外，还可以称出 a-1~4 、a、a+1~4 我刻意把它们列出来，是 1、2、3、4、a-4、a-3、a-2、a-1、a、a+1、a+2、a+3、a+4 那你就会发现 a 这个数字「在4之後的第5个」也就是 9 而 1克、3克、9克 三个砝码一共可以称出 13 个数字，13也就是 1+3+9 = 13 同理，再找下一个，就会是 13之後的第14个 = 27 而 1克、3克、9克、27克 四个砝码一共可以称出 40个数字 所以回答问题，要称出 1~21，需要4个砝码 BTW，这题到底跟国三有什麽关系啊？ -- 有熊老师陪你教数学 (影片放在youtube频道) YouTube 频道 https://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook专页 https://www.facebook.com/Teacher.Koala 欢迎前来分享教学心得 (也可以来问问题哟~~) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 27.105.234.175 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/tutor/M.1492361114.A.005.html ※ 编辑: oodh (27.105.234.175), 04/17/2017 00:46:07 ※ 编辑: oodh (27.105.234.175), 04/17/2017 00:52:02