作者sakuraai (恰比)
看板tutor
標題[解題] 高二 點到平面的距離
時間Thu Mar 3 10:52:44 2016
1.年級： 高中二年級下學期
2.科目： 數學
3.章節： 2-1 空間中的平面
4.題目： 板橋高中100年第一次段考題目 填充5
三平面x+2y+3z=1 ,2x+y+3z=1 ,3x-y+2z=1
，若空間中一點P(a, b, c) ，到三平面的距離分別為L, M, N
，試求L^2+M^2+N^2 有最小值時，L:M:N =
答案(L:M:N=5:7:3)
5.想法： 第一個方向直接朝著點到平面的公式去解 但發現會出現a+2b+3c-1的絕對值
題目問了平方是可以成功把絕對值處理掉 但內部不是個好化簡的東西
有嘗試搭配了算幾不等式或柯西不等式找出最小值 但發現還是解不出來
第二個去分析三個平面的關係 計算後應該是兩兩平面交一線
P點應該會落於內部空間的位置 但是仍然算不出來 因此請各位前輩
看能不能解出或者給個方向思考呢 謝謝
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.193.240.119
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/tutor/M.1456973566.A.102.html
1F：推 diego99: 利用三角形面積去找限制條件。 03/03 10:58
2F：→ diego99: 這題沒意外應該會做的滿辛苦的。 03/03 10:59
3F：推 diego99: 喔對，這題或許沒必要使用點到平面的距離公式， 03/03 11:02
4F：→ diego99: 看來是故意要誤導學生用的。 03/03 11:02
5F：→ sakuraai: 結果我也被誤導了QQ 03/03 11:24
6F：推 zonw: 平面順序有錯嗎? 我用你的順序+柯西 算出 5:7:3 03/03 11:35
7F：推 zonw: 你給的答案是錯的 5:7:3 是對的 03/03 11:44
8F：→ sakuraai: 剛剛檢查一下發現 我打錯答案了 抱歉 03/03 13:06
※ 編輯: sakuraai (123.193.240.119), 03/03/2016 13:06:27
9F：→ sakuraai: 感謝大家的分享 我已經成功算出來了 謝謝大家 03/03 13:26
10F：推 Xilalala: 請問過程怎麼算~~ 03/03 13:54
11F：推 hrjesus: 中線定理嗎？ 是不是重心呢 03/04 01:33
12F：→ sakuraai: 我後來是用柯西求出的 中線定理? 這樣要切在同平面嗎 03/04 11:22
13F：推 ddxu2: 問題最後可以看成是一個三角形中間有一點與三邊距離為L,M,N 03/05 09:51
14F：→ ddxu2: 算出這個三角形的三邊長a,b,c後，(L^2+M^2+N^2)(a^2+b^2+c^ 03/05 09:54
15F：→ ddxu2: 2)>=(aL+bM+cN)^2 03/05 09:54
16F：→ ddxu2: 後者是定值。 03/05 09:54