作者sakuraai (恰比)
看板tutor
标题[解题] 高二 点到平面的距离
时间Thu Mar 3 10:52:44 2016
1.年级： 高中二年级下学期
2.科目： 数学
3.章节： 2-1 空间中的平面
4.题目： 板桥高中100年第一次段考题目 填充5
三平面x+2y+3z=1 ,2x+y+3z=1 ,3x-y+2z=1
，若空间中一点P(a, b, c) ，到三平面的距离分别为L, M, N
，试求L^2+M^2+N^2 有最小值时，L:M:N =
答案(L:M:N=5:7:3)
5.想法： 第一个方向直接朝着点到平面的公式去解 但发现会出现a+2b+3c-1的绝对值
题目问了平方是可以成功把绝对值处理掉 但内部不是个好化简的东西
有尝试搭配了算几不等式或柯西不等式找出最小值 但发现还是解不出来
第二个去分析三个平面的关系 计算後应该是两两平面交一线
P点应该会落於内部空间的位置 但是仍然算不出来 因此请各位前辈
看能不能解出或者给个方向思考呢 谢谢
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1F：推 diego99: 利用三角形面积去找限制条件。 03/03 10:58
2F：→ diego99: 这题没意外应该会做的满辛苦的。 03/03 10:59
3F：推 diego99: 喔对，这题或许没必要使用点到平面的距离公式， 03/03 11:02
4F：→ diego99: 看来是故意要误导学生用的。 03/03 11:02
5F：→ sakuraai: 结果我也被误导了QQ 03/03 11:24
6F：推 zonw: 平面顺序有错吗? 我用你的顺序+柯西 算出 5:7:3 03/03 11:35
7F：推 zonw: 你给的答案是错的 5:7:3 是对的 03/03 11:44
8F：→ sakuraai: 刚刚检查一下发现 我打错答案了 抱歉 03/03 13:06
※ 编辑: sakuraai (123.193.240.119), 03/03/2016 13:06:27
9F：→ sakuraai: 感谢大家的分享 我已经成功算出来了 谢谢大家 03/03 13:26
10F：推 Xilalala: 请问过程怎麽算~~ 03/03 13:54
11F：推 hrjesus: 中线定理吗？ 是不是重心呢 03/04 01:33
12F：→ sakuraai: 我後来是用柯西求出的 中线定理? 这样要切在同平面吗 03/04 11:22
13F：推 ddxu2: 问题最後可以看成是一个三角形中间有一点与三边距离为L,M,N 03/05 09:51
14F：→ ddxu2: 算出这个三角形的三边长a,b,c後，(L^2+M^2+N^2)(a^2+b^2+c^ 03/05 09:54
15F：→ ddxu2: 2)>=(aL+bM+cN)^2 03/05 09:54
16F：→ ddxu2: 後者是定值。 03/05 09:54