※ 引述《matsunaga (ㄅㄧㄠ)》之銘言： : 首先 我先說我的答案是0 有以下幾種解釋方法 : 解釋一: 國二初學平方根時，並還沒學到一元二次方程式，再者國中的數系頂多到實數系 : 所以平方根的定義應該是 : 滿足x^2=a 的x的"數" 由此可知 滿足x^2=9的數有 +3、-3 平方根有兩個 : 滿足x^2=-1的數不存在 => -1 沒有平方根 : 由此推知 滿足x^2=0的數 只有0 所以0的平方根是0 只有一個 : 解釋二: 方程式的"解"跟"根"是不同的兩回事 "根"是指滿足代數式的所有可能值， : 所以 n次方程式必有n個根(且必須在複數平面) : "解"是滿足敘述中所有條件的結果 : 所以 若有問題說 正方形面積=1 則其邊長的解為多少? 總不會回答1or-1這個答案吧? : 回到你說的平方根的定義 滿足x^2=0的解 講一個0就可以了 : 結論:其實在跟學生解釋原因時，要稍微思考一下他們所學的東西，用他們學過的來解釋 : 大概就是這樣 以上拙見 敬請見諒 --- <1> 解 & 根 的確是不一樣的意思，但至少先 google 一下定義吧 自創新定義，若不知情的人看到這篇文章很容易被誤導 何謂解 (solution): 滿足方程式的 數/向量/... 都可稱為解. 例如 x=1 是 x^2 = 1 的一解 (x,y)=(1,1) 是 x^2 + y^2 = 2 的一解 何謂根 (root): 考慮一函數 y(x) , 其中 x 可以是 數/向量/... 若存在一個量 r , 使得 y(r) = 0 則稱 x=r 是 y(x) 的一根 也可稱為一個零點 (zero) 例如 x = 1 是 f(x) = x^2 - 1 的一根 (x,y)=(1,1) 是 f(x,y) = x^2 + y^2 - 2 的一根 所以 r 是 f(x) 的一根 相當於 r 是 f(x)=0 的一解 順帶一提, 為何根也可稱為零點 因為它會讓 f(x) 降為 0 相對應的名詞是 極點 (pole) 簡單想就是這個點會讓 f(x) 趨近於 正/負無窮大/... 當然較嚴格定義可以參考複分析 <2> 會糾結在這些問題上 應該是因為代數基本定理的緣故 但是 代數基本定理 是在說 任何 一元複係數n次多項式 至少存在一個複數根 只是該定理可以推得: 非零 一元複係數n次多項式 會洽有 n 個複數根 這句話只是想說明 一元n次多項式 f(x) 最多就 n 個根，不會有再多的的根 而非強調, f(x)=0 的解 一定要把 n個都寫出來才算對 並且也不該跟學生灌輸, 給定n個解可以還原回原始方程式 這種 in general 不可能辦到的事情, 就算辦到也不知意義何在 例如: x=0 <=> x^2=0 <=> x^3=0 <=> ... <=> |x|=0 若要求學生寫 x=0,0 (Note: 正式寫法是 x=0, order = 2) 請問對應的原始方程式為何? 為何不能是 |x|=0 ? ----- 求解方程式的一個正確思維 要想成是, 你想拿到 f(x) 的某些屬性，做某些事情 例如你想知道 f(x) 的 zeros/poles 在 D 下是否 compact、differentiable、黎曼可積、... 只是對高中生而言， f(x) := 一元n次多項式 想拿到屬性: 根 x^2 的根為 0 , order = 2 <=> x^2=0 的解為 x=0 但是寫 x = 0, 0 理由不該是為了重建 f(x) 因為單給 zeros/poles 的資訊, 本來就無法得知 f(x) 的全貌 即使考慮 f(x) 是多項式 怎麼知道原生的 f(x) 是 x^2, 2x^2, 3x^2, ... ? 這道理很淺顯易懂 我知道一個人的喜怒哀樂 但還是沒辦法知道這個人的全貌, ex: 名字、身高、體重、... 不該有以貌取人的想法在裏頭 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.236.144.121 ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/tutor/M.1443329044.A.89F.html 我會這樣說是因為您的文章提到: "n次方程式必有n個根" 應該要改成: "n次多項式必有n個根" 通常文章寫錯，我看到的當下會想成是: 大家看得懂就好 但是說文解字 解/根，用字要精確，無所謂嚴不嚴謹 方程式 跟 多項式 描述的東西不一樣 若要講給國高中聽，其實只要強調以下幾句: 根 => 多項式 or 函數 解 => 方程式 我以前也是傻傻搞不清楚 解/根 的差異 因為老師都教錯，連書本也都會寫錯 "x^2 = 1 的兩個根分別為 1, -1" 很少人知道這句話錯在哪，但大家還是講的很開心 ※ 編輯: doom8199 (36.236.144.121), 09/27/2015 13:55:46 所以我才說很少人知道 root 的 "指涉" 對象是 function 因為一堆文章都寫錯 但有些文章會有 eq. + root 相關字眼交雜，並非真的寫錯 而是要自己把 root 解讀成在描述 function 的某些特性點 (f=0) 我覺得 wolfram alpha 就做了一個很好的示範 FindRoot / Solve 的 input argument 分別是 函數 跟 方程式 當然你在上面亂打 root of x^2 - 9 = 0 zero of x^2 - 9 = 0 或是 solve x^2 - 9 它還是會盡量用 regular expression matching 列出 user 可能想要的東西 另外 9的平方根 就是 9^(1/2) 9開根號 就是 √9 只是國高中數學用相對簡單明瞭的字眼去解讀 "根" 背後就帶有 f(x) = 0 這個條件式 不用刻意解讀成 x^2-9 的(正)根 (要這樣定義也無不可) 所以用 x^2 = 9 來定義何謂 square root(s) 基本上跟 根/解 的本意無相衝 ※ 編輯: doom8199 (123.195.202.34), 09/28/2015 18:06:09 --- 這樣講可能太不負責任 = =a 找文獻出處可能要大家自己多看學術論文資料 or 科普書 (複變、代數、...) 我也不是因為看了一兩篇文獻就改掉 而是在學期間才慢慢修掉這些定義上的認知 寫高階語言 (如 Matlab)，解方程式相關函式 *root* 也都在操作 多項式/函數 (= 0) 這裡的學術論文不光指 數學 　　還有其它領域 (如通訊、影像處理、...) 解方程式相關的用詞也可觀察一下 不敢說這些學術資料一定 100% 一致，但大多數說法如本篇描述 至於"根"與"係數"的關係，就看您怎麼想 　　可以想成是: 求 f(x) = ax^2 + bx + c 的根 (a≠0) 此時 根 和 a,b,c 之間有哪些關係 例如 判別式 D(a,b,c) = 0, 代表兩根相等, ... 整個還是說得通 (很像在玩文字遊戲XD) 說到這，我得強調一點 　　國高中課本如何定義，就以它為主 (除非它也自己訂得亂七八糟) 　　我的本業非教師，並不清楚目前的教本是否 "根=解" ? 　　但對我而言，這種解讀 光程式語言就相牴觸了 ※ 編輯: doom8199 (123.195.202.34), 09/29/2015 12:01:55