※ 引述《matsunaga (ㄅㄧㄠ)》之铭言： : 首先 我先说我的答案是0 有以下几种解释方法 : 解释一: 国二初学平方根时，并还没学到一元二次方程式，再者国中的数系顶多到实数系 : 所以平方根的定义应该是 : 满足x^2=a 的x的"数" 由此可知 满足x^2=9的数有 +3、-3 平方根有两个 : 满足x^2=-1的数不存在 => -1 没有平方根 : 由此推知 满足x^2=0的数 只有0 所以0的平方根是0 只有一个 : 解释二: 方程式的"解"跟"根"是不同的两回事 "根"是指满足代数式的所有可能值， : 所以 n次方程式必有n个根(且必须在复数平面) : "解"是满足叙述中所有条件的结果 : 所以 若有问题说 正方形面积=1 则其边长的解为多少? 总不会回答1or-1这个答案吧? : 回到你说的平方根的定义 满足x^2=0的解 讲一个0就可以了 : 结论:其实在跟学生解释原因时，要稍微思考一下他们所学的东西，用他们学过的来解释 : 大概就是这样 以上拙见 敬请见谅 --- <1> 解 & 根 的确是不一样的意思，但至少先 google 一下定义吧 自创新定义，若不知情的人看到这篇文章很容易被误导 何谓解 (solution): 满足方程式的 数/向量/... 都可称为解. 例如 x=1 是 x^2 = 1 的一解 (x,y)=(1,1) 是 x^2 + y^2 = 2 的一解 何谓根 (root): 考虑一函数 y(x) , 其中 x 可以是 数/向量/... 若存在一个量 r , 使得 y(r) = 0 则称 x=r 是 y(x) 的一根 也可称为一个零点 (zero) 例如 x = 1 是 f(x) = x^2 - 1 的一根 (x,y)=(1,1) 是 f(x,y) = x^2 + y^2 - 2 的一根 所以 r 是 f(x) 的一根 相当於 r 是 f(x)=0 的一解 顺带一提, 为何根也可称为零点 因为它会让 f(x) 降为 0 相对应的名词是 极点 (pole) 简单想就是这个点会让 f(x) 趋近於 正/负无穷大/... 当然较严格定义可以参考复分析 <2> 会纠结在这些问题上 应该是因为代数基本定理的缘故 但是 代数基本定理 是在说 任何 一元复系数n次多项式 至少存在一个复数根 只是该定理可以推得: 非零 一元复系数n次多项式 会洽有 n 个复数根 这句话只是想说明 一元n次多项式 f(x) 最多就 n 个根，不会有再多的的根 而非强调, f(x)=0 的解 一定要把 n个都写出来才算对 并且也不该跟学生灌输, 给定n个解可以还原回原始方程式 这种 in general 不可能办到的事情, 就算办到也不知意义何在 例如: x=0 <=> x^2=0 <=> x^3=0 <=> ... <=> |x|=0 若要求学生写 x=0,0 (Note: 正式写法是 x=0, order = 2) 请问对应的原始方程式为何? 为何不能是 |x|=0 ? ----- 求解方程式的一个正确思维 要想成是, 你想拿到 f(x) 的某些属性，做某些事情 例如你想知道 f(x) 的 zeros/poles 在 D 下是否 compact、differentiable、黎曼可积、... 只是对高中生而言， f(x) := 一元n次多项式 想拿到属性: 根 x^2 的根为 0 , order = 2 <=> x^2=0 的解为 x=0 但是写 x = 0, 0 理由不该是为了重建 f(x) 因为单给 zeros/poles 的资讯, 本来就无法得知 f(x) 的全貌 即使考虑 f(x) 是多项式 怎麽知道原生的 f(x) 是 x^2, 2x^2, 3x^2, ... ? 这道理很浅显易懂 我知道一个人的喜怒哀乐 但还是没办法知道这个人的全貌, ex: 名字、身高、体重、... 不该有以貌取人的想法在里头 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.236.144.121 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/tutor/M.1443329044.A.89F.html 我会这样说是因为您的文章提到: "n次方程式必有n个根" 应该要改成: "n次多项式必有n个根" 通常文章写错，我看到的当下会想成是: 大家看得懂就好 但是说文解字 解/根，用字要精确，无所谓严不严谨 方程式 跟 多项式 描述的东西不一样 若要讲给国高中听，其实只要强调以下几句: 根 => 多项式 or 函数 解 => 方程式 我以前也是傻傻搞不清楚 解/根 的差异 因为老师都教错，连书本也都会写错 "x^2 = 1 的两个根分别为 1, -1" 很少人知道这句话错在哪，但大家还是讲的很开心 ※ 编辑: doom8199 (36.236.144.121), 09/27/2015 13:55:46 所以我才说很少人知道 root 的 "指涉" 对象是 function 因为一堆文章都写错 但有些文章会有 eq. + root 相关字眼交杂，并非真的写错 而是要自己把 root 解读成在描述 function 的某些特性点 (f=0) 我觉得 wolfram alpha 就做了一个很好的示范 FindRoot / Solve 的 input argument 分别是 函数 跟 方程式 当然你在上面乱打 root of x^2 - 9 = 0 zero of x^2 - 9 = 0 或是 solve x^2 - 9 它还是会尽量用 regular expression matching 列出 user 可能想要的东西 另外 9的平方根 就是 9^(1/2) 9开根号 就是 √9 只是国高中数学用相对简单明了的字眼去解读 "根" 背後就带有 f(x) = 0 这个条件式 不用刻意解读成 x^2-9 的(正)根 (要这样定义也无不可) 所以用 x^2 = 9 来定义何谓 square root(s) 基本上跟 根/解 的本意无相冲 ※ 编辑: doom8199 (123.195.202.34), 09/28/2015 18:06:09 --- 这样讲可能太不负责任 = =a 找文献出处可能要大家自己多看学术论文资料 or 科普书 (复变、代数、...) 我也不是因为看了一两篇文献就改掉 而是在学期间才慢慢修掉这些定义上的认知 写高阶语言 (如 Matlab)，解方程式相关函式 *root* 也都在操作 多项式/函数 (= 0) 这里的学术论文不光指 数学 　　还有其它领域 (如通讯、影像处理、...) 解方程式相关的用词也可观察一下 不敢说这些学术资料一定 100% 一致，但大多数说法如本篇描述 至於"根"与"系数"的关系，就看您怎麽想 　　可以想成是: 求 f(x) = ax^2 + bx + c 的根 (a≠0) 此时 根 和 a,b,c 之间有哪些关系 例如 判别式 D(a,b,c) = 0, 代表两根相等, ... 整个还是说得通 (很像在玩文字游戏XD) 说到这，我得强调一点 　　国高中课本如何定义，就以它为主 (除非它也自己订得乱七八糟) 　　我的本业非教师，并不清楚目前的教本是否 "根=解" ? 　　但对我而言，这种解读 光程式语言就相抵触了 ※ 编辑: doom8199 (123.195.202.34), 09/29/2015 12:01:55