作者matsunaga (ㄅㄧㄠ)
看板tutor
標題Re: [解題] 平方根一問
時間Sun Sep 27 03:19:28 2015
※ 引述《binbinthink (拿鐵..是我的堅持!!)》之銘言：
: 1.年級：2年級
: 2.科目：數學
: 3.章節：
: 平方根
: 4.題目：
: 0的平方根是0
: 5.想法：
: 是這個樣子的,昨天有一位學生,
: 拿了一個選擇題來問,下列哪些敘述是正確的
: 其他選項不重要,唯一令我有疑惑的是這一個選項
: 0的平方根是0,
: 當下我的答案為錯,理由是,我認為指平方根,原定義應該是
: 滿足x^2=a的x之解,
: a為正,當然x需要有兩解,
: a為負,當然x還是有兩解,只是解出現i國中暫時教(無實數解)
: 當a為零,此題為x^2=0,其實是一個一元二次方程式,
: 一元二次方程式當然還是要有兩個解,故我覺得
: 0的平方根應該為 0,0 (或寫0重根) 才是標準答案
: 但學生卻告訴我,學校老師教他們 0的平方根是0 是正確的
: 想上來求證各位高手
: 心中的答案是 0 呢? 還是跟我一樣必須有兩個 0 ?
首先 我先說我的答案是0 有以下幾種解釋方法
解釋一: 國二初學平方根時，並還沒學到一元二次方程式，再者國中的數系頂多到實數系
所以平方根的定義應該是
滿足x^2=a 的x的"數" 由此可知 滿足x^2=9的數有 +3、-3 平方根有兩個
滿足x^2=-1的數不存在 => -1 沒有平方根
由此推知 滿足x^2=0的數 只有0 所以0的平方根是0 只有一個
解釋二: 方程式的"解"跟"根"是不同的兩回事 "根"是指滿足代數式的所有可能值，
所以 n次方程式必有n個根(且必須在複數平面)
"解"是滿足敘述中所有條件的結果
所以 若有問題說 正方形面積=1 則其邊長的解為多少? 總不會回答1or-1這個答案吧?
回到你說的平方根的定義 滿足x^2=0的解 講一個0就可以了
結論:其實在跟學生解釋原因時，要稍微思考一下他們所學的東西，用他們學過的來解釋
大概就是這樣 以上拙見 敬請見諒
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1F：推 AtDe: 蠻中肯的 應該要考慮講平方根時數學發展的水準 09/27 07:00
2F：推 binbinthink: 我懂m大的意思,這時候m大是把解和根兩個字定義不一 09/27 09:21
3F：→ binbinthink: 樣,x^2=0,根是指所有可能值,所以是 x=0,0 09/27 09:22
4F：→ binbinthink: x^2=0,根是指符合題意的結果,需刪除不合者? 09/27 09:24
5F：→ binbinthink: 解(上一行) 09/27 09:24
6F：→ binbinthink: 冒昧再提一個題型 09/27 09:31
7F：→ binbinthink: 也就是我原文中提到的類型,如果在敘述解時不強調個數 09/27 09:32
8F：→ binbinthink: 有一方程式其解為 0,-3,5 ....試求出原方程式,請問大 09/27 09:33
9F：→ binbinthink: 大怎麼去列式? 09/27 09:33
10F：推 binbinthink: 至於大大說的題型,正方形面積=1,求正方形邊長, 09/27 09:56
11F：→ binbinthink: 個人認為的解法是 09/27 09:56
12F：→ binbinthink: 設正方形邊長為a, 09/27 09:56
13F：→ binbinthink: a^2=1 09/27 09:56
14F：→ binbinthink: a=+-1,(負不合) 09/27 09:57
15F：→ binbinthink: 在後面解方程時,我一定是教學生+-1,才由題意去刪除 09/27 09:57
16F：→ binbinthink: 不合題意者(長度為正) 09/27 09:58
17F：→ binbinthink: 我絕對不回教學生,a^2=1,a=1 09/27 09:58
18F：→ binbinthink: 我相信大大應該也是這樣教學生吧? 09/27 09:58
19F：→ binbinthink: 如果是,在那a^2=1,a=+-1處,大大也跟我一樣強調過個數 09/27 09:59
20F：→ binbinthink: 要讓學生知道,幾次方程就幾個解 09/27 09:59
原po 不好意思解釋二後面沒有講得很清楚 那個題型 我的講解會跟學生說 x^2=1
有兩個"根" +1 or -1 但邊長沒有負數 負不合所以"解"為x=1 這樣有解答你的疑惑嘛?
所以說 幾次方程式就有幾個"根" 另外 在實數系內 應該是 n次方程式"最多"有n個"根"
舉例來說 在講公式解的時候 通常會跟學生說 若D>0 則有兩相異實數"解"
若D=0 則恰有一"解" 此方程式"重根"
若D<0 此方程式"無解" 我們不會說"無根"
也就是 "根"只用在單純算方程式的時候的結果 所以原po的 0重根沒問題
因為指的是此方程的根 但平方根的定義是要求"解" 也就是不是純粹算方程式而已
再來回你提到的那個問題，有 0 -3 5 三個"解" 但你沒說是一元三次方程式
所以假設的時候當然可以假設成 x^n*(x+3)^m*(x-5)^p=0
甚至可以把一些無解的多項式乘上去
但若題目說 有一個一元三次方程式 其解為 0 -3 5 那因為n次方程式最多有n個根
所以我們假設此方程式為 x*(x+3)*(x-5)=0
結論:"解"跟"根"應該是指兩個不同的東西(因為使用領域上的不同)
只是有的時候 "解"的數量剛好跟"根"的數量相同而已
21F：推 deepspirit: 推結論，一個國二學生能夠理解的範圍到底有多少 09/27 10:49
22F：→ deepspirit: 我會稍微說明一下正確的概念，但是不會強迫一定要怎樣 09/27 10:50
23F：推 deepspirit: 我會告訴學生，嚴格說來答案是0,0，但是出題老師沒想 09/27 10:55
24F：→ deepspirit: 那麼多，不管幾個0，對他來說都是0，所以出現那個答案 09/27 10:56
25F：推 deepspirit: 那個選項並不是一個非常重大的錯誤，是嚴謹性的問題 09/27 10:58
26F：→ deepspirit: 國二學生或許無法理解這樣的細節，何不依照他的程度 09/27 11:01
27F：→ deepspirit: 來做相對應的"提醒"，而非直接認定選項錯誤 09/27 11:01
※ 編輯: matsunaga (118.167.47.96), 09/27/2015 11:55:24
28F：推 binbinthink: 我懂你的意思,原PO的意思是我跟你的不同在於解跟根的 09/27 12:00
29F：→ binbinthink: 定義不同,而不是個數上的不同 09/27 12:00
30F：→ binbinthink: 且原PO是把平方根定義成,是求解,而不是根,對吧? 09/27 12:01
31F：→ matsunaga: 沒錯 雖然平方根有"根"這個字 但他的定義是找"解" 09/27 12:08
32F：→ matsunaga: 原PO自己在敘述時 也是說滿足x^2=a的"解"而不是"根" 09/27 12:09
33F：→ binbinthink: OK,這樣我懂了,感謝ma大, 09/27 12:09
34F：→ binbinthink: 因為我一直以來把解跟根定義成一樣的東西 09/27 12:10
35F：→ binbinthink: 而且如ma大講的,我把平方根想成的是平方"根"而不是 09/27 12:11
36F：→ binbinthink: 平方"解" 09/27 12:11
37F：→ matsunaga: 但其實是不一樣的 以英文來說 解:solution 根:root 09/27 12:11
38F：→ binbinthink: 在解的部分,如果是應用題,我都只是特別教學生把答案 09/27 12:12
39F：→ binbinthink: 不合理的地方,給刪去,沒有特別去研究"解"與"根"的不 09/27 12:13
40F：→ binbinthink: 同 09/27 12:13
41F：→ binbinthink: 而且一直以來我也都覺得平方根是"根" 09/27 12:14
42F：推 yandin: 覺得最後一段比較重要 09/28 15:35
43F：推 samil311: 建議原po應先看一下他們現在的課本；書中明確指出0是0 10/14 21:52
44F：→ samil311: 的平方根 10/14 21:52