※ 引述《RedHerrings (紅色鯡魚)》之銘言： : 感謝前面幾位老師精彩的討論，見識到其他老師在教學和專業知能上的用心。 : 我自己在教數學的時候，也經常遇到這類的問題。 : 遇到一些證明，或是會牽涉到較深數學知識的內容， : 到底應該如何向學生介紹呢？ 可以舉例嗎？ 高中階段的數學，主要是為日後的應用建立基礎，而不是培養一個數學家。 從歷屆試題也可以看出此一趨勢，重點應不在抽象嚴格的證明。 建立在這個前提下， 我不知道為什麼會有在證明上需要涉入較深的數學知識內容，這樣子的困擾。 絕大多數應該都是高中課程範圍內就能解決的。 例如我不會去嚴格證明實數的稠密性等， 以高中階段來說，只要做一些直觀的說明即可。 而事實上這也是很多人學習及理解數學的方式（不包括數學家）。 我曾經教過高一學生初等微積分， 學生本來就不是程度特別好或者反應特別快， 可是透過一些比較heuristic的方式， 要讓他有一些感覺，並進行實際的操作運算並不困難。 我們也講一些證明，例如萊布尼茲法則、鏈鎖律， 只是證明的方式當然不會是純數學的抽向證明。 而是以一種直觀、不嚴格、但合理自洽的方式，體現證明過程的主要精神。 這方面坊間有不少科普書或者翻譯國外的參考教材，都是很好的資料。 例如我自己看過知道的就有： 《三小時讀通微積分》、《看漫畫學微積分》 其實有不少日本或美國在科普化方面做得極為成功， 我自己以前在求學時，還沒有這些翻譯過來的教材。 現在會去看，主要目的不是在複習， 而是去參考教學法，看看其他人有什麼教學點子， 如何把較進階的知識以比較容易被初學者的理解方式表達出來。 也曾設想過，如何以小學生能夠接受的方式教微積分。 這方面必須下的功夫，不一定會比最初學這些東西的時間少。 我認為學習和教學畢竟還是兩回事，以自己的基礎理解知識是一回事， 如何讓基礎程度不足的人也能輕易理解，那如何包裝這些知識是另一門學問。 也就是「教學的專業」之一。 : 剛好我的學生，大部分都是原本幾乎不太會算數學， : 到高二、高三才為了拚學測指考而請老師。 : 在一個星期兩小時的壓力之下， : 即使很想跟學生介紹一點有趣的內容，也會怕學生短時間根本無法吸收。 : 我的經驗中，會來找家教的學生，本身就是在學校的學習經驗很不好， : 對數學能閃就閃能躲就躲，根本不用說什麼欣賞數學的美。 對於學習受挫或程度不好的學生而言， 首先會面臨的就是信心問題。 成就感是興趣的前提，如果總是絞盡腦汁最終失敗， 那樣的挫折感很容易讓興趣也消失殆盡。 所以您其實可以斟酌這些有趣的內容， 是否需要較好的程度才能體會。 數學有些有意思的東西，不見得要多好的程度才能聽懂。 記得有幾本書蠻能做為取材的參考資料 像是《茶水間的數學》、《數學開心辭典》、《生活中的數學》 : 或許是我的經驗尚且不夠，但通常我的作法是： : 真的很重要具有啟發性的證明，我「表演」一次給你看； : 如果是不太重要的證明，那我跟你講他的idea，結果你先記下來。 : （當然這個「表演」隨著經驗增加，或許可以跟觀眾有多一點互動） 可以具體說明是什麼啟發性證明嗎？ 有些證明過程只是教師自己覺得有趣，學生不一定這麼認為。 例如證明自然對數底e。 通常人比較會關心的都是和生活有直接聯繫的。 學生對指數也許比較能接受，對數就有點陌生。 這時候如果只告訴他定義，他仍會覺得對數只是定義在數學裡的東西。 那我會去舉例， 對數有個功能是在表示一個數字的冪次。 如果你考慮的是天文數字，涉及的範圍很大， 從10到10^30都有，這時候你要將數據顯示出來是很不方便也不太可能做到的。 如果在方格紙上顯示，妳必須切出10^30格，根本上是不可能。 取對數就可以使得10^30格變成30格或者300格，方便多了。 這樣他就能具體感受「對數是什麼」，而且幾乎不會忘記。 也不太需要特別去記憶書本上拗口的定義。 致於證明過程，沒有必要每個都去死記起來。 如果是過程中常用的運算，確定他能運用步驟中技巧就夠了。 不需要太快要求他有很好的獨力整合的能力。 : 但是我自己學數學的經驗也告訴我，看人家表演一百次，不如自己實際表演一次。 : 那問題就在，我們真的需要學生會表演這些高深的魔術嗎？ : 站在喜愛數學的老師們這一邊，當然會覺得學生能弄懂（即使只有五六成）， : 是非常令人高興而且滿足的經驗； : 但是站在馬上就要面對期中考的學生那一邊， : 考試不會考的證明題，我為什麼一定要會？ 如果是考試範圍內的東西，何不先讓他學會了，再來補充其他？ 如果是為了避免學習沉悶，一小時花個5~10分鐘講點『純興趣』的東西，也就夠了。 : 原文中討論的指數定義問題，我必須慚愧地承認， : 我沒辦法像版上許多老師那樣討論那麼深入。 : 可是，當我的學生問起這個問題， : 我到底應該說明到哪個程度呢？ : 我自己也曾經是數學差點被當掉的文組學生， : 很清楚被符號和定義弄得亂七八糟是多恐怖的事情。 : 如果當初有一個家教老師，很興奮的跟我講了複變函數， : 我想我也只會聽著覺得很有趣，但是根本不知道老師在講什麼吧。 : 有很多高中數學的內容，我甚至也是在大學學了一些高等數學後， : 為了準備上課，才赫然發現其中的意義。 : 知道這些東西對學數學有幫助嗎？當然有， : 可是那也已經是我變成老奸巨猾的數學老師時，才發生的事情了。 : 我的想法是，我高中的時候弄不懂的東西，沒理由我的高中學生就比較有可能理解。 : 這樣的話，我到底該怎麼說明一些數學家們關心的問題，比如： : 定義、運算規則、公設……之類更困難的問題呢？ 您可以多參考一些科普書，因為這些書籍是寫給一般大眾看的， 預設的水平通常很低，從小學到高中都有，看看她們怎麼談這些東西。 我自己也會去思考新的教學法與技巧。因為這就是教學的專業之一。 教師的工作應該不是類似於念課文或把所學的東西陳述出來而已， 而是能考量學生的程度與背景，以他比較能輕易接受的方式去表達出來。 所以自己必須先重新組織、包裝過。 高中數學我一時想不到太困難的證明。 如果是物理上，例子就很多了，包括： 克卜勒第三定律、都卜勒效應、折射透射的振幅變化等等， 一些大學物理課程才會證明或者一般書籍裡證明過程比較複雜的， 都可以去設想出比較容易被學生接受的方式。 去避開對微分方程的求解。 不過這些內容，並不是全部都會教給學生。即使教也可能很快帶過。 如我提過的，我不認為這些推導證明，學生會感興趣。 其實多數聽過的學生，都覺得明顯比書上的證明簡單清楚多了。 但是考試不考推導，學生還是很容易忘。 而我覺得忘了無所謂，因為這不是一般學生必須知道的。 雖然我自己覺得很棒，如果我求學時也能有這樣的老師，我實在高興極了。 但是這種對數學與物理推導的興趣與欣賞，是屬於極少數人的。 教師切忌將自己的興趣與喜好，或者自己覺得重要的東西加諸在學生上。 : 我非常同意每個人都有學數學的能力，而且數學是非常了不起的學問； : 但是在高中三年間（好吧還有考試前的幾個月）， : 老師到底應該介紹數學知識到哪種地步？ : 這篇文章打了一大堆問號，事實上真的就是我一直以來感到很疑惑的問題。 : 版上神人老師輩出，希望可以聽聽各位老師們的經驗分享，謝謝！ 如果您指的是「應該」： 狹義來說就是介紹課綱要求的程度與範圍即可。 廣義來說，就要視學生的情況斟酌， 先以不影響課內進度為前提，給予適當的補充。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 180.206.241.25 柯西不等式我會用向量來證明，先考慮二維或三維，然後再類比到任意維度。 這樣對學生的接受度應該會比較高。 實數酬密性我也會談，但比較像舉例子讓他了解有這個現象。 他可以做實驗，試著找出最靠近0的數字，這過程中他會發現不可能找到。 每找一個數，總是可以在0與這個數字之間取值。 這樣他也會覺得蠻有趣的。 實數很密集很擁擠，但是儘管這麼擁擠，你卻找不到0這個數字「隔壁」的鄰居。 實數的稠密性，課綱沒有提，對學習課程內容也不明顯構成影響。 所以我認為不是必要的。 但是因為聊這些東西不用5分鐘的時間，而且蠻有趣的。 所以當進度趕上閒暇有餘或者純粹舒緩一下緊張氣氛時， 能聊聊學生聽了也開心，何樂不為？ 至於怎麼包裝得很有意思，就要再下點功夫囉。 柯西不等式我覺得用2維向量不難說明啊。 首先要建立內積的概念與運算，不只是計算上的， 也包括直觀上的幾何意義：「投影」。 接下來就可以搭配畫圖的方式，以幾何圖像來闡明柯西不等式對應的幾何意義。 我偏好用幾何詮釋，取代代數的證明會更有感覺。 記憶我還是比較偏向從向量內積去看。 絲毫無需額外記憶公式。 |a˙b|≡| |a||b|Cosθ | < |a||b| 內積是學習向量必須的概念，應該不算是額外的負擔。 這裡說的擁擠的意思是指無論多靠近的距離都有無窮多個人。 這當然是有語病的，因為目的不是為了要敘述嚴格。 而是給個直觀上的趣味。 因為不是每個人都會對嚴密的邏輯推理感興趣。 微積分的概念也常會拿dx當成很小的一個數字去想像， 這都是一種heuristic的教學過程，當然這嚴格說起來不正確。 甚至在某些問題上有誤導作用。所以在比較正式的課程裡，必須去釐清。 但是在很多時候，除非有志於成為數學家， 否則那些不嚴格的證明，在實用上已經足夠。 在物理發展史上，有不少數學在還沒有被充分發展前， 就已經被物理學家以不嚴格的方式（甚至根本錯誤）使用著。 可是的確很有用。 而對於絕大多數那些不成為數學家或理論物理學家的人來說， 對數學嚴密性需求，其實很低。 甚至可以說，我們上大學以前的課程，都不是以嚴密的邏輯來學習。 甚至上大學以後，多數科系都不關心真正嚴格的數學。 換個說法，我們其實是在熟悉運算的規則，並用直觀連繫。 而這種不嚴密的、但合情理的推想能力，某些數學家也很強調。 例如Polya。 而高斯甚至說過數學重要的是點子而非邏輯。 這點我倒不是挺擔心的。 教學過程中必須讓學生分清楚，什麼是比喻，什麼是數學事實。 這點我也一定會在教學過程中提醒學生。 例如磁鐵何以有磁性，會以電流的磁效應說明， （這種解釋甚至出現在普物教或近物教材之中）可是卻是錯的。 我會強調這是相對論量子場論的效應，用古典模型替代只是為了便於想像。 在傳達比喻給學生的時候，特別是以非常不嚴格的比喻， 必須讓學生分清楚什麼只是比喻，而什麼才是數學事實。 所以完全不必因為這樣的比喻產生了矛盾而感到驚訝。 我知道n大本意不在強調我的比喻方式錯了， 而我想強調的卻是，事實上那就是錯的。 我不在意這是錯的，我也會讓學生意識到這是錯的。 對於抽象的東西，我們總可以用更好的比喻，將它修飾得更加合理。 只是要修飾到什麼程度，只能自行取捨斟酌。 因為只要那個比喻和被描述的那個數學，不是同構的。 就永遠都可以找出新的語病。 到最後，沒有任何語病的結果，往往就是抽象的語言，也就是嚴格的數學。 學生在日後有懷疑是正常的， 如果要避免學生覺得自己被誤導或被欺騙了， 最好的方式就是盡可能避免讓他誤以為比喻是嚴格的。 因為我們要強調的可能只是數學上的一個現象。 比喻只是一個透過現實生活來想像的鷹架， 最後的思考還是得回到數學的世界裡去。 另外，想順便補充一點， 雖然我覺得教學應盡可能降低學習的阻力。 讓複雜的外貌，變的更加簡單清楚與易於接受。 但是另一方面，我不希望傳達給學生一種錯覺， 讓他以為「數學(或者物理)其實是很簡單的」。 有些教師喜歡強調這一點，認為數學和物理是簡單的， 如果學生覺得困難，是因為教師教得不好的關係。 其實無論教師教得好不好，我都不覺得數學(或物理)是容易的。 因為這些知識都離我們的日常直覺很遠。 就算會有簡單的這種錯覺，也只是因為被適當的包裝過。 而我們之所以能把她包裝得這麼精美， 都是幾千年無數的前人犯無數錯誤所累積的知識。 不僅不應該是簡單的，反倒應該是非常困難的。要學習就必須經歷這個困難。 「輕鬆」快樂的學習，能學的十分有限。 ※ 編輯: condensed 來自: 180.206.241.25 (11/10 11:19)