※ 引述《RedHerrings (红色鲱鱼)》之铭言： : 感谢前面几位老师精彩的讨论，见识到其他老师在教学和专业知能上的用心。 : 我自己在教数学的时候，也经常遇到这类的问题。 : 遇到一些证明，或是会牵涉到较深数学知识的内容， : 到底应该如何向学生介绍呢？ 可以举例吗？ 高中阶段的数学，主要是为日後的应用建立基础，而不是培养一个数学家。 从历届试题也可以看出此一趋势，重点应不在抽象严格的证明。 建立在这个前提下， 我不知道为什麽会有在证明上需要涉入较深的数学知识内容，这样子的困扰。 绝大多数应该都是高中课程范围内就能解决的。 例如我不会去严格证明实数的稠密性等， 以高中阶段来说，只要做一些直观的说明即可。 而事实上这也是很多人学习及理解数学的方式（不包括数学家）。 我曾经教过高一学生初等微积分， 学生本来就不是程度特别好或者反应特别快， 可是透过一些比较heuristic的方式， 要让他有一些感觉，并进行实际的操作运算并不困难。 我们也讲一些证明，例如莱布尼兹法则、链锁律， 只是证明的方式当然不会是纯数学的抽向证明。 而是以一种直观、不严格、但合理自洽的方式，体现证明过程的主要精神。 这方面坊间有不少科普书或者翻译国外的参考教材，都是很好的资料。 例如我自己看过知道的就有： 《三小时读通微积分》、《看漫画学微积分》 其实有不少日本或美国在科普化方面做得极为成功， 我自己以前在求学时，还没有这些翻译过来的教材。 现在会去看，主要目的不是在复习， 而是去参考教学法，看看其他人有什麽教学点子， 如何把较进阶的知识以比较容易被初学者的理解方式表达出来。 也曾设想过，如何以小学生能够接受的方式教微积分。 这方面必须下的功夫，不一定会比最初学这些东西的时间少。 我认为学习和教学毕竟还是两回事，以自己的基础理解知识是一回事， 如何让基础程度不足的人也能轻易理解，那如何包装这些知识是另一门学问。 也就是「教学的专业」之一。 : 刚好我的学生，大部分都是原本几乎不太会算数学， : 到高二、高三才为了拚学测指考而请老师。 : 在一个星期两小时的压力之下， : 即使很想跟学生介绍一点有趣的内容，也会怕学生短时间根本无法吸收。 : 我的经验中，会来找家教的学生，本身就是在学校的学习经验很不好， : 对数学能闪就闪能躲就躲，根本不用说什麽欣赏数学的美。 对於学习受挫或程度不好的学生而言， 首先会面临的就是信心问题。 成就感是兴趣的前提，如果总是绞尽脑汁最终失败， 那样的挫折感很容易让兴趣也消失殆尽。 所以您其实可以斟酌这些有趣的内容， 是否需要较好的程度才能体会。 数学有些有意思的东西，不见得要多好的程度才能听懂。 记得有几本书蛮能做为取材的参考资料 像是《茶水间的数学》、《数学开心辞典》、《生活中的数学》 : 或许是我的经验尚且不够，但通常我的作法是： : 真的很重要具有启发性的证明，我「表演」一次给你看； : 如果是不太重要的证明，那我跟你讲他的idea，结果你先记下来。 : （当然这个「表演」随着经验增加，或许可以跟观众有多一点互动） 可以具体说明是什麽启发性证明吗？ 有些证明过程只是教师自己觉得有趣，学生不一定这麽认为。 例如证明自然对数底e。 通常人比较会关心的都是和生活有直接联系的。 学生对指数也许比较能接受，对数就有点陌生。 这时候如果只告诉他定义，他仍会觉得对数只是定义在数学里的东西。 那我会去举例， 对数有个功能是在表示一个数字的幂次。 如果你考虑的是天文数字，涉及的范围很大， 从10到10^30都有，这时候你要将数据显示出来是很不方便也不太可能做到的。 如果在方格纸上显示，你必须切出10^30格，根本上是不可能。 取对数就可以使得10^30格变成30格或者300格，方便多了。 这样他就能具体感受「对数是什麽」，而且几乎不会忘记。 也不太需要特别去记忆书本上拗口的定义。 致於证明过程，没有必要每个都去死记起来。 如果是过程中常用的运算，确定他能运用步骤中技巧就够了。 不需要太快要求他有很好的独力整合的能力。 : 但是我自己学数学的经验也告诉我，看人家表演一百次，不如自己实际表演一次。 : 那问题就在，我们真的需要学生会表演这些高深的魔术吗？ : 站在喜爱数学的老师们这一边，当然会觉得学生能弄懂（即使只有五六成）， : 是非常令人高兴而且满足的经验； : 但是站在马上就要面对期中考的学生那一边， : 考试不会考的证明题，我为什麽一定要会？ 如果是考试范围内的东西，何不先让他学会了，再来补充其他？ 如果是为了避免学习沉闷，一小时花个5~10分钟讲点『纯兴趣』的东西，也就够了。 : 原文中讨论的指数定义问题，我必须惭愧地承认， : 我没办法像版上许多老师那样讨论那麽深入。 : 可是，当我的学生问起这个问题， : 我到底应该说明到哪个程度呢？ : 我自己也曾经是数学差点被当掉的文组学生， : 很清楚被符号和定义弄得乱七八糟是多恐怖的事情。 : 如果当初有一个家教老师，很兴奋的跟我讲了复变函数， : 我想我也只会听着觉得很有趣，但是根本不知道老师在讲什麽吧。 : 有很多高中数学的内容，我甚至也是在大学学了一些高等数学後， : 为了准备上课，才赫然发现其中的意义。 : 知道这些东西对学数学有帮助吗？当然有， : 可是那也已经是我变成老奸巨猾的数学老师时，才发生的事情了。 : 我的想法是，我高中的时候弄不懂的东西，没理由我的高中学生就比较有可能理解。 : 这样的话，我到底该怎麽说明一些数学家们关心的问题，比如： : 定义、运算规则、公设……之类更困难的问题呢？ 您可以多参考一些科普书，因为这些书籍是写给一般大众看的， 预设的水平通常很低，从小学到高中都有，看看她们怎麽谈这些东西。 我自己也会去思考新的教学法与技巧。因为这就是教学的专业之一。 教师的工作应该不是类似於念课文或把所学的东西陈述出来而已， 而是能考量学生的程度与背景，以他比较能轻易接受的方式去表达出来。 所以自己必须先重新组织、包装过。 高中数学我一时想不到太困难的证明。 如果是物理上，例子就很多了，包括： 克卜勒第三定律、都卜勒效应、折射透射的振幅变化等等， 一些大学物理课程才会证明或者一般书籍里证明过程比较复杂的， 都可以去设想出比较容易被学生接受的方式。 去避开对微分方程的求解。 不过这些内容，并不是全部都会教给学生。即使教也可能很快带过。 如我提过的，我不认为这些推导证明，学生会感兴趣。 其实多数听过的学生，都觉得明显比书上的证明简单清楚多了。 但是考试不考推导，学生还是很容易忘。 而我觉得忘了无所谓，因为这不是一般学生必须知道的。 虽然我自己觉得很棒，如果我求学时也能有这样的老师，我实在高兴极了。 但是这种对数学与物理推导的兴趣与欣赏，是属於极少数人的。 教师切忌将自己的兴趣与喜好，或者自己觉得重要的东西加诸在学生上。 : 我非常同意每个人都有学数学的能力，而且数学是非常了不起的学问； : 但是在高中三年间（好吧还有考试前的几个月）， : 老师到底应该介绍数学知识到哪种地步？ : 这篇文章打了一大堆问号，事实上真的就是我一直以来感到很疑惑的问题。 : 版上神人老师辈出，希望可以听听各位老师们的经验分享，谢谢！ 如果您指的是「应该」： 狭义来说就是介绍课纲要求的程度与范围即可。 广义来说，就要视学生的情况斟酌， 先以不影响课内进度为前提，给予适当的补充。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 180.206.241.25 柯西不等式我会用向量来证明，先考虑二维或三维，然後再类比到任意维度。 这样对学生的接受度应该会比较高。 实数酬密性我也会谈，但比较像举例子让他了解有这个现象。 他可以做实验，试着找出最靠近0的数字，这过程中他会发现不可能找到。 每找一个数，总是可以在0与这个数字之间取值。 这样他也会觉得蛮有趣的。 实数很密集很拥挤，但是尽管这麽拥挤，你却找不到0这个数字「隔壁」的邻居。 实数的稠密性，课纲没有提，对学习课程内容也不明显构成影响。 所以我认为不是必要的。 但是因为聊这些东西不用5分钟的时间，而且蛮有趣的。 所以当进度赶上闲暇有余或者纯粹舒缓一下紧张气氛时， 能聊聊学生听了也开心，何乐不为？ 至於怎麽包装得很有意思，就要再下点功夫罗。 柯西不等式我觉得用2维向量不难说明啊。 首先要建立内积的概念与运算，不只是计算上的， 也包括直观上的几何意义：「投影」。 接下来就可以搭配画图的方式，以几何图像来阐明柯西不等式对应的几何意义。 我偏好用几何诠释，取代代数的证明会更有感觉。 记忆我还是比较偏向从向量内积去看。 丝毫无需额外记忆公式。 |a˙b|≡| |a||b|Cosθ | < |a||b| 内积是学习向量必须的概念，应该不算是额外的负担。 这里说的拥挤的意思是指无论多靠近的距离都有无穷多个人。 这当然是有语病的，因为目的不是为了要叙述严格。 而是给个直观上的趣味。 因为不是每个人都会对严密的逻辑推理感兴趣。 微积分的概念也常会拿dx当成很小的一个数字去想像， 这都是一种heuristic的教学过程，当然这严格说起来不正确。 甚至在某些问题上有误导作用。所以在比较正式的课程里，必须去厘清。 但是在很多时候，除非有志於成为数学家， 否则那些不严格的证明，在实用上已经足够。 在物理发展史上，有不少数学在还没有被充分发展前， 就已经被物理学家以不严格的方式（甚至根本错误）使用着。 可是的确很有用。 而对於绝大多数那些不成为数学家或理论物理学家的人来说， 对数学严密性需求，其实很低。 甚至可以说，我们上大学以前的课程，都不是以严密的逻辑来学习。 甚至上大学以後，多数科系都不关心真正严格的数学。 换个说法，我们其实是在熟悉运算的规则，并用直观连系。 而这种不严密的、但合情理的推想能力，某些数学家也很强调。 例如Polya。 而高斯甚至说过数学重要的是点子而非逻辑。 这点我倒不是挺担心的。 教学过程中必须让学生分清楚，什麽是比喻，什麽是数学事实。 这点我也一定会在教学过程中提醒学生。 例如磁铁何以有磁性，会以电流的磁效应说明， （这种解释甚至出现在普物教或近物教材之中）可是却是错的。 我会强调这是相对论量子场论的效应，用古典模型替代只是为了便於想像。 在传达比喻给学生的时候，特别是以非常不严格的比喻， 必须让学生分清楚什麽只是比喻，而什麽才是数学事实。 所以完全不必因为这样的比喻产生了矛盾而感到惊讶。 我知道n大本意不在强调我的比喻方式错了， 而我想强调的却是，事实上那就是错的。 我不在意这是错的，我也会让学生意识到这是错的。 对於抽象的东西，我们总可以用更好的比喻，将它修饰得更加合理。 只是要修饰到什麽程度，只能自行取舍斟酌。 因为只要那个比喻和被描述的那个数学，不是同构的。 就永远都可以找出新的语病。 到最後，没有任何语病的结果，往往就是抽象的语言，也就是严格的数学。 学生在日後有怀疑是正常的， 如果要避免学生觉得自己被误导或被欺骗了， 最好的方式就是尽可能避免让他误以为比喻是严格的。 因为我们要强调的可能只是数学上的一个现象。 比喻只是一个透过现实生活来想像的鹰架， 最後的思考还是得回到数学的世界里去。 另外，想顺便补充一点， 虽然我觉得教学应尽可能降低学习的阻力。 让复杂的外貌，变的更加简单清楚与易於接受。 但是另一方面，我不希望传达给学生一种错觉， 让他以为「数学(或者物理)其实是很简单的」。 有些教师喜欢强调这一点，认为数学和物理是简单的， 如果学生觉得困难，是因为教师教得不好的关系。 其实无论教师教得好不好，我都不觉得数学(或物理)是容易的。 因为这些知识都离我们的日常直觉很远。 就算会有简单的这种错觉，也只是因为被适当的包装过。 而我们之所以能把她包装得这麽精美， 都是几千年无数的前人犯无数错误所累积的知识。 不仅不应该是简单的，反倒应该是非常困难的。要学习就必须经历这个困难。 「轻松」快乐的学习，能学的十分有限。 ※ 编辑: condensed 来自: 180.206.241.25 (11/10 11:19)