: (2)命題的設計上，是否真正測驗到所涉及的數學概念而具有教學上的意義。 : 我們都知道反三角函數的定義域的選擇不是唯一的， 第二點的概念，我希望能夠讓更多老師知道， 不然老師的熱心設計題目反而是種對學生的傷害。 即使只是家教老師，沒出題的機會，以這種觀點向學生傳達也能多少降低學生的傷害。 這篇回文主要在想分享「規定」、「善意」兩個想法， 不一定和這串討論相關度這麼高，此是藉此抒發，在此先講三個小故事： 第一個故事： 前陣子，搭著木柵線捷運，車上來了位壯漢，戴著耳罩式耳機，聽著音樂， 其耳機的聲音，讓我們旁人都對他的聽力很擔憂。 此時，車廂剛好有位捷運站務人員，客氣的對他說，先生你的耳機好像太大聲了。 那壯漢，似乎很不滿音樂聽到一半被打擾，拿掉耳機，以比剛才更大的音量說， 「捷運哪條規定，說我不可以聽耳機，你是不是管太多。」 第二個故事： 我念數學系時，有個強者學弟跨年級和我修幾何學，期中考後，他拿了20 幾分的成績， 去跟老師爭吵說，說老師改錯了。據我後來的了解，是那學弟不用課本老師那套符號， 用一套自己的寫法，(果真是強者才能這樣）讓老師實在很不了解他在寫什麼，於是被 老師改錯。那時老師說他的寫法看不懂，這樣不行，學弟很不滿，還去找了其他老師論 述說他的解法是正確的。 第三個故事： 網路上的五隻猴子的故事， 提到傳統若不反省思索，到後來就會持續做很多「不合時宜」的事。 就請大家看以下連結： http://www.catholic.org.tw/tainan/at/47.htm 所謂的「定義」、「規定」本身其實都是以「善意」為出發點，「善意」是希望不給其 他人看到這名詞時感到「困擾」，讓大家溝通時，有個基本的認知水平，減少無謂的模 糊與障礙。 改考卷時，若沒有個統一的符號語言，那對閱卷老師是種困擾。即使邏輯上正確，但若 沒有人看得懂那真的是好事嗎？書寫就是希望能夠讓人透過文字來了解自己的想法。 諸如寫程式，也不是跑得出答案就好，讓人好閱讀的才是個有利於溝通合作交流的程式。 寫論文時，也才知文章不是論點正確就好，不好閱讀的文章，別人可是連看都不想看。 在撰寫時，教授常說要少寫會讓人誤解的語句，諸如，可用 if 就不用 whether ，因 為 whether 他有時有「不論」的感覺。在寫文章的時候，都要適度地對讀者持有些 「善意」，這樣書寫是否讀者會想錯，一旦讓讀者造成誤解，那你的想法就沒法順利地 傳達。 其實考題在設計上也是如此，不該寫些讓學生容易誤解的文字，更不該刻意設計學生會 誤解、掉入陷阱的語句。那些設計表面是「善意」提醒，但其實是讓學生學不到最主要 的目的與思維。 「定義」、「規定」的立意就是為了避免這些困擾而設置的善意。但規定畢竟是死的。 不該被這所限制，也不該在這規定上作過多無意於釐清概念的操弄。諸如，捷運上不準 飲食，若有人在捷運上咳個不停，喝個水若得以舒緩，那也無妨。但也不需要防範像上 述大聲聽音樂的人，就禁止大家在捷運上聽音樂。以前在 NTU 版看到一篇文章，有社團 在某大樓旁辦活動，影響到正在開會上課的老師，於是請人去跟他們說可否稍微小聲點， 那活動負責人卻理直氣壯說我們可是有申請的。 我們從小被訓練為要注意「規定」，要知道什麼是可做，要了解什麼不可做。考題也有 很多設計來讓大家學會要注意到「規定」是什麼。但其實比較少被提醒，去感受這「規 定」所帶來的「善意」。若不解其「善意」，反而讓我們習於去遵守表面規定，但不懂 的去認知這規定之外的體諒。諸如，「七天鑑賞期」是個善意，但卻看到有人因電腦送 修，便想網購電腦，來當臨時機備用。 數學是個講究規定清楚的學科，數學老師更是一群熟悉這些規則的玩家，但每次看到參 考書上寫著一些符合規定但卻不實用的考題就覺得很無奈。 問一些，不實用的函數，來當作函數判定的考題。 諸如：「日數」與「月份」是否為函數關係，長方形「長」與「面積」是否為函數關係？ 問一些，過度的集合無意義的符號遊戲 {a,3,b}={a+1,4,5}, a,b 為何？ 集合與邏輯明明是很重要用很基本的東西，但一編入課本，就會有很多些繞著定義的符 號遊戲。重點是這些符號操作，反而讓學生對集合與邏輯的基本概念都沒有了。 諸如反三角函數是個實用的概念，但我想課綱刪掉的考量是學校會出現太奇怪的題目 sin( sin^(-1)(-1/2)) 為何？甚至 sin(2* sin^(-1)(1/3)) 為何？ 明明反三角的感覺是很直覺實用，工程計算機都有的基本符號。但卻怕被誤用，而做了 如此的規定。 前陣子，看著學生三角函數的考題：試問以下哪個選項是 8x^3-6x +1 =0 的解 (1) cos(20度) ,(2) cos(40度),.......... 說實在，我到現在都沒有把數學拿來這樣用，數學符號的規定本身是「善意」， 是用來幫助抽象思維的推論，是用來簡化書寫計算，不是拿來過度解讀。 但高中卻一直出現這些「奇妙」的題目，或許應該再加上兩個字「莫名」兩字， 真的是「莫名奇妙」的題目。 接著，再讓我們把「善意」放在老師身上，我以前看到這些題目，會批評出題老師的不 是。(這是個不好的習慣，藉由否定批評對方來確認自我的價值。）其實出題老師也是 基於「善意」在出題，也只是想善意提醒學生要注意到某些細節，加強某些印象。 當然更多老師其實是情非得以的情況要出這些題目。因為過去的「傳統」就是這樣，老 師的老師就這樣教，也沒跟現在的老師說，為什麼要算這些題目，只知這樣寫會得分。 所以當老師又這樣教給下一代時，就會有更多人不清楚做這些題目的目的為何。 但不教這些以前熟悉的東西，要來教些什麼，則是個更複雜的問題。也需要更大的努力 與時間來改變。我現在嘗試在改變，但還是有時會習慣性的因循傳統來進行教學與考試 ，所以當看到我或者其他老師教學出現「不合時宜」的教學內容時，也請「善意」給老 師些提醒，至少我相信很多老師為了學生的好是願意改善的。因為我們從傳統長大，要 一時拋棄那習慣，不是說翻轉就可以立刻翻轉那麼簡單事。 課綱委員其實在課綱中，給了很多「規定」，希望老師不要出些太不合時宜的題目。 但如果能讓老師了解這些「善意」或許就不用那麼多「規定」。因相對的過多的規定， 反而是給教師教學的自主更大的傷害。 如果考題都不能出現「雞」、「鴨」、「馬」、那生物課還可以怎麼上。 http://www.chihchih.net/2013/11/18.html 我希望藉著此文宣導，「對、錯」不是那麼重要。教學時傳達哪些概念想法才是重要。 我有朋友對我說，幹嘛花那麼多時間寫這些文章，認同你的人自然認同，不認同的還是 不認同。但我相信一些想法，其實是可以透過更多的宣達才能夠有改變的效果。尤其是 這種想要改變傳統的想法。 諸如，我看網路上都普遍反注音文，那注音文就比五六年前消失很多。現在，大家也都 比較有不用盜版的概念，那尊重智慧財產的風氣也是改善不少。至少以我個人而言，我 花在軟體的錢已經高過於一台 Macbook Air 。那教學上，如果可以讓更多老師感受到這 種「善意」，那一些不善的題目我想也會減少。這樣的目的就是希望能讓數學回歸到他 的實用性，而不是一種過度的操弄遊戲。 最後，再引述張海潮教授在「數學放大鏡」這本書的一段話， 「對任何數學議題的學習都應該經過探索、嘗試、推理、證明 而總結為定理或公式,如 此才能切實理解進而靈活運用;尤其不應該把數學的學習異化成背誦現象,反覆操弄公式 ,或是捏造一堆對心智成長 毫無助益的難題。」 -- http://tutorchiang.blogspot.tw/2013/11/blog-post.html#more --

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