: (2)命题的设计上，是否真正测验到所涉及的数学概念而具有教学上的意义。 : 我们都知道反三角函数的定义域的选择不是唯一的， 第二点的概念，我希望能够让更多老师知道， 不然老师的热心设计题目反而是种对学生的伤害。 即使只是家教老师，没出题的机会，以这种观点向学生传达也能多少降低学生的伤害。 这篇回文主要在想分享「规定」、「善意」两个想法， 不一定和这串讨论相关度这麽高，此是藉此抒发，在此先讲三个小故事： 第一个故事： 前阵子，搭着木栅线捷运，车上来了位壮汉，戴着耳罩式耳机，听着音乐， 其耳机的声音，让我们旁人都对他的听力很担忧。 此时，车厢刚好有位捷运站务人员，客气的对他说，先生你的耳机好像太大声了。 那壮汉，似乎很不满音乐听到一半被打扰，拿掉耳机，以比刚才更大的音量说， 「捷运哪条规定，说我不可以听耳机，你是不是管太多。」 第二个故事： 我念数学系时，有个强者学弟跨年级和我修几何学，期中考後，他拿了20 几分的成绩， 去跟老师争吵说，说老师改错了。据我後来的了解，是那学弟不用课本老师那套符号， 用一套自己的写法，(果真是强者才能这样）让老师实在很不了解他在写什麽，於是被 老师改错。那时老师说他的写法看不懂，这样不行，学弟很不满，还去找了其他老师论 述说他的解法是正确的。 第三个故事： 网路上的五只猴子的故事， 提到传统若不反省思索，到後来就会持续做很多「不合时宜」的事。 就请大家看以下连结： http://www.catholic.org.tw/tainan/at/47.htm 所谓的「定义」、「规定」本身其实都是以「善意」为出发点，「善意」是希望不给其 他人看到这名词时感到「困扰」，让大家沟通时，有个基本的认知水平，减少无谓的模 糊与障碍。 改考卷时，若没有个统一的符号语言，那对阅卷老师是种困扰。即使逻辑上正确，但若 没有人看得懂那真的是好事吗？书写就是希望能够让人透过文字来了解自己的想法。 诸如写程式，也不是跑得出答案就好，让人好阅读的才是个有利於沟通合作交流的程式。 写论文时，也才知文章不是论点正确就好，不好阅读的文章，别人可是连看都不想看。 在撰写时，教授常说要少写会让人误解的语句，诸如，可用 if 就不用 whether ，因 为 whether 他有时有「不论」的感觉。在写文章的时候，都要适度地对读者持有些 「善意」，这样书写是否读者会想错，一旦让读者造成误解，那你的想法就没法顺利地 传达。 其实考题在设计上也是如此，不该写些让学生容易误解的文字，更不该刻意设计学生会 误解、掉入陷阱的语句。那些设计表面是「善意」提醒，但其实是让学生学不到最主要 的目的与思维。 「定义」、「规定」的立意就是为了避免这些困扰而设置的善意。但规定毕竟是死的。 不该被这所限制，也不该在这规定上作过多无意於厘清概念的操弄。诸如，捷运上不准 饮食，若有人在捷运上咳个不停，喝个水若得以舒缓，那也无妨。但也不需要防范像上 述大声听音乐的人，就禁止大家在捷运上听音乐。以前在 NTU 版看到一篇文章，有社团 在某大楼旁办活动，影响到正在开会上课的老师，於是请人去跟他们说可否稍微小声点， 那活动负责人却理直气壮说我们可是有申请的。 我们从小被训练为要注意「规定」，要知道什麽是可做，要了解什麽不可做。考题也有 很多设计来让大家学会要注意到「规定」是什麽。但其实比较少被提醒，去感受这「规 定」所带来的「善意」。若不解其「善意」，反而让我们习於去遵守表面规定，但不懂 的去认知这规定之外的体谅。诸如，「七天监赏期」是个善意，但却看到有人因电脑送 修，便想网购电脑，来当临时机备用。 数学是个讲究规定清楚的学科，数学老师更是一群熟悉这些规则的玩家，但每次看到参 考书上写着一些符合规定但却不实用的考题就觉得很无奈。 问一些，不实用的函数，来当作函数判定的考题。 诸如：「日数」与「月份」是否为函数关系，长方形「长」与「面积」是否为函数关系？ 问一些，过度的集合无意义的符号游戏 {a,3,b}={a+1,4,5}, a,b 为何？ 集合与逻辑明明是很重要用很基本的东西，但一编入课本，就会有很多些绕着定义的符 号游戏。重点是这些符号操作，反而让学生对集合与逻辑的基本概念都没有了。 诸如反三角函数是个实用的概念，但我想课纲删掉的考量是学校会出现太奇怪的题目 sin( sin^(-1)(-1/2)) 为何？甚至 sin(2* sin^(-1)(1/3)) 为何？ 明明反三角的感觉是很直觉实用，工程计算机都有的基本符号。但却怕被误用，而做了 如此的规定。 前阵子，看着学生三角函数的考题：试问以下哪个选项是 8x^3-6x +1 =0 的解 (1) cos(20度) ,(2) cos(40度),.......... 说实在，我到现在都没有把数学拿来这样用，数学符号的规定本身是「善意」， 是用来帮助抽象思维的推论，是用来简化书写计算，不是拿来过度解读。 但高中却一直出现这些「奇妙」的题目，或许应该再加上两个字「莫名」两字， 真的是「莫名奇妙」的题目。 接着，再让我们把「善意」放在老师身上，我以前看到这些题目，会批评出题老师的不 是。(这是个不好的习惯，藉由否定批评对方来确认自我的价值。）其实出题老师也是 基於「善意」在出题，也只是想善意提醒学生要注意到某些细节，加强某些印象。 当然更多老师其实是情非得以的情况要出这些题目。因为过去的「传统」就是这样，老 师的老师就这样教，也没跟现在的老师说，为什麽要算这些题目，只知这样写会得分。 所以当老师又这样教给下一代时，就会有更多人不清楚做这些题目的目的为何。 但不教这些以前熟悉的东西，要来教些什麽，则是个更复杂的问题。也需要更大的努力 与时间来改变。我现在尝试在改变，但还是有时会习惯性的因循传统来进行教学与考试 ，所以当看到我或者其他老师教学出现「不合时宜」的教学内容时，也请「善意」给老 师些提醒，至少我相信很多老师为了学生的好是愿意改善的。因为我们从传统长大，要 一时抛弃那习惯，不是说翻转就可以立刻翻转那麽简单事。 课纲委员其实在课纲中，给了很多「规定」，希望老师不要出些太不合时宜的题目。 但如果能让老师了解这些「善意」或许就不用那麽多「规定」。因相对的过多的规定， 反而是给教师教学的自主更大的伤害。 如果考题都不能出现「鸡」、「鸭」、「马」、那生物课还可以怎麽上。 http://www.chihchih.net/2013/11/18.html 我希望藉着此文宣导，「对、错」不是那麽重要。教学时传达哪些概念想法才是重要。 我有朋友对我说，干嘛花那麽多时间写这些文章，认同你的人自然认同，不认同的还是 不认同。但我相信一些想法，其实是可以透过更多的宣达才能够有改变的效果。尤其是 这种想要改变传统的想法。 诸如，我看网路上都普遍反注音文，那注音文就比五六年前消失很多。现在，大家也都 比较有不用盗版的概念，那尊重智慧财产的风气也是改善不少。至少以我个人而言，我 花在软体的钱已经高过於一台 Macbook Air 。那教学上，如果可以让更多老师感受到这 种「善意」，那一些不善的题目我想也会减少。这样的目的就是希望能让数学回归到他 的实用性，而不是一种过度的操弄游戏。 最後，再引述张海潮教授在「数学放大镜」这本书的一段话， 「对任何数学议题的学习都应该经过探索、尝试、推理、证明 而总结为定理或公式,如 此才能切实理解进而灵活运用;尤其不应该把数学的学习异化成背诵现象,反覆操弄公式 ,或是捏造一堆对心智成长 毫无助益的难题。」 -- http://tutorchiang.blogspot.tw/2013/11/blog-post.html#more --

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