※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言： : 1.年級：高一 : 2.科目：數學 : 3.章節：指數率 : 4.題目： 是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0 : 答案是(錯) 爭點應該是 (-2)^(1/2) 有沒有超出範圍 而不是有沒有定義 因為只要 z≠0， z^w 都可以定義，其中 z,w 是複數 Def: If z≠0， we define z^w = e^(w Log z) 其中 Log z = log|z| + i arg(z)， -π< arg(z)≦π 例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2) (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i (-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2 如果今天有個國中生學過複數，而且會解 x^2 + 1 = 0 當他跟你說 x = ± i時，你應該不會跟他說錯吧 同樣道理，[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0，沒有錯的理由 你可以說它超出高中範圍，但不能說它錯 但是否真的超出範圍仍然可以爭議 因為即使不用上述的定義 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i 以高中能理解的方式來看待 (-2)^(1/2) 也是可以的 (如果是問 i^i > 0 ，那超出範圍就沒有爭議) 把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根 是高中就能理解，也合情合理的事 事實上在推廣指數到有理數時就有這樣的經驗了 只不過 a<0 時沒辦法再規定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根 若把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根 (-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i (-2)^(1/2) 即使多值，但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立 另外一個爭點 如果複數運算後的結果是一個實數，那當然可以比較大小 事實上這種例子高中就有了 - - z z ≧ 0 就是一例，其中 z 是複數， z 是它的共軛複數 內積 < x,x > ＞ 0 , if x≠0 也是一例 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.164.180.82 指數律有的必須修改 例如: (xy)^w = x^w y^w e^(2πiw n(x,y)) 其中 n(x,y) = 0 , if -π < arg(x) + arg(y)≦ π 1 , if -2π < arg(x) + arg(y)≦ -π -1 , if π < arg(x) + arg(y)≦ 2π 以維基那個錯誤證明 1+1 = 0 為例 http://ppt.cc/99pj 正確應該是 (-1*-1)^(1/2) = (-1)^(1/2)*(-1)^(1/2)*e^(2πi*(1/2)*(-1)) = i*i*e^(-πi) = 1 但是像指數律 z^x * z^y = z^(x+y) 就仍然成立 z≠0，x,y,x 是複數 其實原 po 問的這題，不必用到指數律 但我覺得這種題目還是盡量避免出現在高中 若不得已已經出來，最節省時間的方法 就是告訴學生超出範圍，不計分或送分 但剛好這題就真的大於 0 所以不能說它錯 ※ 編輯: ERT312 來自: 218.164.180.82 (11/08 02:39)