※ 引述《PROQC (跑步去)》之铭言： : 1.年级：高一 : 2.科目：数学 : 3.章节：指数率 : 4.题目： 是非题 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0 : 答案是(错) 争点应该是 (-2)^(1/2) 有没有超出范围 而不是有没有定义 因为只要 z≠0， z^w 都可以定义，其中 z,w 是复数 Def: If z≠0， we define z^w = e^(w Log z) 其中 Log z = log|z| + i arg(z)， -π< arg(z)≦π 例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2) (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i (-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2 如果今天有个国中生学过复数，而且会解 x^2 + 1 = 0 当他跟你说 x = ± i时，你应该不会跟他说错吧 同样道理，[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0，没有错的理由 你可以说它超出高中范围，但不能说它错 但是否真的超出范围仍然可以争议 因为即使不用上述的定义 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i 以高中能理解的方式来看待 (-2)^(1/2) 也是可以的 (如果是问 i^i > 0 ，那超出范围就没有争议) 把 (-2)^(1/2) 视为 x^2 + 2 = 0 的二根 是高中就能理解，也合情合理的事 事实上在推广指数到有理数时就有这样的经验了 只不过 a<0 时没办法再规定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根 若把 (-2)^(1/2) 视为 x^2 + 2 = 0 的二根 (-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i (-2)^(1/2) 即使多值，但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立 另外一个争点 如果复数运算後的结果是一个实数，那当然可以比较大小 事实上这种例子高中就有了 - - z z ≧ 0 就是一例，其中 z 是复数， z 是它的共轭复数 内积 < x,x > ＞ 0 , if x≠0 也是一例 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 218.164.180.82 指数律有的必须修改 例如: (xy)^w = x^w y^w e^(2πiw n(x,y)) 其中 n(x,y) = 0 , if -π < arg(x) + arg(y)≦ π 1 , if -2π < arg(x) + arg(y)≦ -π -1 , if π < arg(x) + arg(y)≦ 2π 以维基那个错误证明 1+1 = 0 为例 http://ppt.cc/99pj 正确应该是 (-1*-1)^(1/2) = (-1)^(1/2)*(-1)^(1/2)*e^(2πi*(1/2)*(-1)) = i*i*e^(-πi) = 1 但是像指数律 z^x * z^y = z^(x+y) 就仍然成立 z≠0，x,y,x 是复数 其实原 po 问的这题，不必用到指数律 但我觉得这种题目还是尽量避免出现在高中 若不得已已经出来，最节省时间的方法 就是告诉学生超出范围，不计分或送分 但刚好这题就真的大於 0 所以不能说它错 ※ 编辑: ERT312 来自: 218.164.180.82 (11/08 02:39)