※ 引述《arist ( 在他方 )》之銘言： : https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JZbjewKU72OweQHhEErbF- : 之前很多學生再作矩陣乘法之時，發覺都用一格一格來想。 : 沒有整列整行再思考，趁這機會分享一下這想法。 : 畢竟還有不少家教老師沒有修過線代。 藉這篇交流點自己的想法。 arist老師的影片我有看了一些，沒全看完。 關於矩陣怎麼去初步理解比較容易接受，我的想法： 何以我們在規定兩個矩陣的運算時， 一定要將前面的矩陣的列，乘上後面矩陣的行？ 例如兩個向量在做內積，我們幹嘛不直接寫成兩個行向量， 定義矩陣乘法的時候，直接歸定兩行相乘不就好了嗎？ 也就是說，矩陣的乘法我們可以推廣為： 行乘以行、列乘以列、行乘以列、列乘以行這四種運算。 偏偏我們就是只選其中一種運算來定義。 我的想法是，這和張量運算用到的縮並是相呼應的。 透過愛因斯坦的求和習慣，我們可以比較容易地從指標的位置與數量， 直接知道整個運算後的結果是屬於哪一種張量。 這種運算具有很好以及方便的性質， 矩陣乘法的限定，恰巧提醒與反映了這種運算的特點。 所以我們可以將所有的矩陣運算都看成是對(1,1)張量進行縮並。 所有的(1,1)張量在進行這些縮並之後，所得到的最後的張量仍然是(1,1)的， (0,0) (1,0) (0,1)可以視為(1,1)的特例。 如果牽涉其中，也能在最後運算後，從結果是行矩陣或列矩陣， 來直接看出最後的結果是(1,0)或者(0,1)張量。 這個好處讓我們得以輕易的判斷運算後的結果所得的「向量」，是逆變或協變的。 p.s. 當然以上只是教師板，要怎麼讓學生比較容易理解，要將表達重新修飾。 我目前想到的就是舉二維的座標變換的例子。 對應到解聯立方程式，形同與幾何上的觀點作連結。 就可以順便延伸為己何的觀點來詮釋二(或三)元一次聯立方程的解的公式， 如何以幾何直觀寫下。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 180.206.230.103 我對歷史沒有深究。這裡主要是專注在教學。 我們中學所學的東西，都是已經建立很久，被視為具有特別的重要性的。 所以，之所以能長年生存及廣泛被使用，肯定不會只有起源時的最初動機。 而矩陣最常被用在作為線性代數裡的一種表示法， 所以我從這個角度，去找比較能具體連結到： 「為什麼矩陣這樣的一些約定俗成的規則，會被保留下來？」這個問題， 目的在於讓學生具體體會這種運算的必要性以及與生活的相關性。 歷史發展如何，不是我原先關注的重點。 不過還是感謝您的補充。 歷史情形，我不清楚。 純就知識上來說，Matrix和Tensor本質很不同。 Tensor分量必須滿足所對應的協變與逆變，Matrix完全沒有這種限制。 也許將Matrix視為一種方便的「表示法」，更貼切。 受限於表述的形式，即使只考慮0~2階的張量，Matrix也無法對不同的2階張量做區別。 用途與意義皆不同。 Matrix除了能代表(1,1)張量的運算， 也能作為一種群表示來定義一個群。(不一定要和張量有關) 矩陣最多只能表示到二階張量的分量，三階以上就無法。 我猜部份原因是我們在紙上能畫出來的就只有方陣， 我也曾設想過立體方陣作為推廣，當然這在實用上可能是不必要的。 不過我不是念數學的，這個問題留給數學家去做就好 XD ※ 編輯: condensed 來自: 180.206.230.103 (11/03 01:29)