※ 引述《arist ( 在他方 )》之铭言： : https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JZbjewKU72OweQHhEErbF- : 之前很多学生再作矩阵乘法之时，发觉都用一格一格来想。 : 没有整列整行再思考，趁这机会分享一下这想法。 : 毕竟还有不少家教老师没有修过线代。 藉这篇交流点自己的想法。 arist老师的影片我有看了一些，没全看完。 关於矩阵怎麽去初步理解比较容易接受，我的想法： 何以我们在规定两个矩阵的运算时， 一定要将前面的矩阵的列，乘上後面矩阵的行？ 例如两个向量在做内积，我们干嘛不直接写成两个行向量， 定义矩阵乘法的时候，直接归定两行相乘不就好了吗？ 也就是说，矩阵的乘法我们可以推广为： 行乘以行、列乘以列、行乘以列、列乘以行这四种运算。 偏偏我们就是只选其中一种运算来定义。 我的想法是，这和张量运算用到的缩并是相呼应的。 透过爱因斯坦的求和习惯，我们可以比较容易地从指标的位置与数量， 直接知道整个运算後的结果是属於哪一种张量。 这种运算具有很好以及方便的性质， 矩阵乘法的限定，恰巧提醒与反映了这种运算的特点。 所以我们可以将所有的矩阵运算都看成是对(1,1)张量进行缩并。 所有的(1,1)张量在进行这些缩并之後，所得到的最後的张量仍然是(1,1)的， (0,0) (1,0) (0,1)可以视为(1,1)的特例。 如果牵涉其中，也能在最後运算後，从结果是行矩阵或列矩阵， 来直接看出最後的结果是(1,0)或者(0,1)张量。 这个好处让我们得以轻易的判断运算後的结果所得的「向量」，是逆变或协变的。 p.s. 当然以上只是教师板，要怎麽让学生比较容易理解，要将表达重新修饰。 我目前想到的就是举二维的座标变换的例子。 对应到解联立方程式，形同与几何上的观点作连结。 就可以顺便延伸为己何的观点来诠释二(或三)元一次联立方程的解的公式， 如何以几何直观写下。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 180.206.230.103 我对历史没有深究。这里主要是专注在教学。 我们中学所学的东西，都是已经建立很久，被视为具有特别的重要性的。 所以，之所以能长年生存及广泛被使用，肯定不会只有起源时的最初动机。 而矩阵最常被用在作为线性代数里的一种表示法， 所以我从这个角度，去找比较能具体连结到： 「为什麽矩阵这样的一些约定俗成的规则，会被保留下来？」这个问题， 目的在於让学生具体体会这种运算的必要性以及与生活的相关性。 历史发展如何，不是我原先关注的重点。 不过还是感谢您的补充。 历史情形，我不清楚。 纯就知识上来说，Matrix和Tensor本质很不同。 Tensor分量必须满足所对应的协变与逆变，Matrix完全没有这种限制。 也许将Matrix视为一种方便的「表示法」，更贴切。 受限於表述的形式，即使只考虑0~2阶的张量，Matrix也无法对不同的2阶张量做区别。 用途与意义皆不同。 Matrix除了能代表(1,1)张量的运算， 也能作为一种群表示来定义一个群。(不一定要和张量有关) 矩阵最多只能表示到二阶张量的分量，三阶以上就无法。 我猜部份原因是我们在纸上能画出来的就只有方阵， 我也曾设想过立体方阵作为推广，当然这在实用上可能是不必要的。 不过我不是念数学的，这个问题留给数学家去做就好 XD ※ 编辑: condensed 来自: 180.206.230.103 (11/03 01:29)