※ 引述《armopen (八字-風水-姓名學)》之銘言： : ※ 引述《winnous (反核四..)》之銘言： : : 家教孩子他們班老師給的資料中有一段寫到 : : 在100以內，不能被2、3、5、7整除的數必為質數 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 家教孩子問我為什麼 但我有點不知道怎麼解釋 : : 我的想法是 2的倍數全部列出來 : : 再來列3的倍數 : : 再列出5 和7 的倍數 就可以發現了 : : 但覺得很不真實 可以請各位高手幫忙 這有什麼正確的說法嗎? : 這個性質的證明其實不是太困難，主因是一個觀察 : 例如： 100 以內的數 n 是合數，則必然可被 2,3,5,7 其中一數整除 : 因為 100 = 10 x 10 : 所以如果找到 n = ab，則 a <= 10 或 b <= 10 : [否則，n = ab > 100 顯然不合] : 根據算術基本定理：一個大於 1 的正整數，必然是質數或有限個質數的乘積 : 所以如果 a 是 n 的一個小於 10 的因數，那麼 a 不是一個質數，就是 : 有限個質數的乘積。又小於 10 的質數只有 2、3、5、7。 : (1) 情形一： a 是一個質數，則 a 必然是 2，3，5，7 其中一個。 : 則 100 有一個質因數 a，得證。 : (2) 情形二： a 不是一個質數，則 a 必然是 2 或 3 或 5 或 7 構成的乘積。 : 故得證。 : 以上我們證明了如果 100 以內的整數是合數，那麼至少可被 2,3,5,7 其中一數整除。 : 反過來說，如果 100 以內的整數不能被 2,3,5,7 其中一數整數，則必為質數。 這個問題，我會搭在「找 n 的所有因數」的問題後面教。 我都建議學生，要找所有因數時，「不要從 1 開始一路往後找」 要像這樣： 以120為例： 1 x 120 6 x 20 2 x 60 8 x 15 3 x 40 10 x 12 4 x 30 5 x 24 為什麼這樣找比較好呢，一個是不容易漏數， 一個是，當數字大起來的時候，不需要真的一直除 ex： 當你知道 120 = 4 x 30 時， 它會 = 8 x ___ 這個位置用 30 除 2 就行了 這樣不只是好算而已，還可以快速地判斷該大數是否有這個因數 比如說 120 = 4 x 30 30可以被2整除，所以 120 是 8 的倍數， 但 120 = 3 x 40 40不能被3整除，所以 120 不是 9 的倍數 還有第三個好處呢，就是可以藉此講解「該找到多少要停下來？」 讓學生發現左邊一直變大、右邊一直縮小，找到對調就可以停下來了。 這裡有三個衍生的重點， 一 ) 第一個就是 「找到根號就可以停了」 (可以概念性地，提一下根號，不用真的教) 二 ) 另一個是「 n = a x b， 若 n 有一個大於 a 之因數的話，就要有一個小於b的因數」 ( 若 n 有一個大於 根號n 之因數的話，就要有一個小於 根號n 的因數) 第一點是直觀判斷，第二點是解釋它的原因， 這兩點教了，就可以用來解釋 「如果 100 以內的數，找到10 都還沒有找到它的因數，那它必為質數」 三 ) 還有一個則是 「 n 有奇數個 因數 ==> n 為完全平方數」 所以我會建議這樣教 ^^ -- 有熊老師陪你教數學 (影片放在youtube頻道) YouTube 頻道 https://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook專頁 https://www.facebook.com/Teacher.Koala 歡迎前來分享教學心得 (也可以來問問題喲~~) --

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