※ 引述《armopen (八字-风水-姓名学)》之铭言： : ※ 引述《winnous (反核四..)》之铭言： : : 家教孩子他们班老师给的资料中有一段写到 : : 在100以内，不能被2、3、5、7整除的数必为质数 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 家教孩子问我为什麽 但我有点不知道怎麽解释 : : 我的想法是 2的倍数全部列出来 : : 再来列3的倍数 : : 再列出5 和7 的倍数 就可以发现了 : : 但觉得很不真实 可以请各位高手帮忙 这有什麽正确的说法吗? : 这个性质的证明其实不是太困难，主因是一个观察 : 例如： 100 以内的数 n 是合数，则必然可被 2,3,5,7 其中一数整除 : 因为 100 = 10 x 10 : 所以如果找到 n = ab，则 a <= 10 或 b <= 10 : [否则，n = ab > 100 显然不合] : 根据算术基本定理：一个大於 1 的正整数，必然是质数或有限个质数的乘积 : 所以如果 a 是 n 的一个小於 10 的因数，那麽 a 不是一个质数，就是 : 有限个质数的乘积。又小於 10 的质数只有 2、3、5、7。 : (1) 情形一： a 是一个质数，则 a 必然是 2，3，5，7 其中一个。 : 则 100 有一个质因数 a，得证。 : (2) 情形二： a 不是一个质数，则 a 必然是 2 或 3 或 5 或 7 构成的乘积。 : 故得证。 : 以上我们证明了如果 100 以内的整数是合数，那麽至少可被 2,3,5,7 其中一数整除。 : 反过来说，如果 100 以内的整数不能被 2,3,5,7 其中一数整数，则必为质数。 这个问题，我会搭在「找 n 的所有因数」的问题後面教。 我都建议学生，要找所有因数时，「不要从 1 开始一路往後找」 要像这样： 以120为例： 1 x 120 6 x 20 2 x 60 8 x 15 3 x 40 10 x 12 4 x 30 5 x 24 为什麽这样找比较好呢，一个是不容易漏数， 一个是，当数字大起来的时候，不需要真的一直除 ex： 当你知道 120 = 4 x 30 时， 它会 = 8 x ___ 这个位置用 30 除 2 就行了 这样不只是好算而已，还可以快速地判断该大数是否有这个因数 比如说 120 = 4 x 30 30可以被2整除，所以 120 是 8 的倍数， 但 120 = 3 x 40 40不能被3整除，所以 120 不是 9 的倍数 还有第三个好处呢，就是可以藉此讲解「该找到多少要停下来？」 让学生发现左边一直变大、右边一直缩小，找到对调就可以停下来了。 这里有三个衍生的重点， 一 ) 第一个就是 「找到根号就可以停了」 (可以概念性地，提一下根号，不用真的教) 二 ) 另一个是「 n = a x b， 若 n 有一个大於 a 之因数的话，就要有一个小於b的因数」 ( 若 n 有一个大於 根号n 之因数的话，就要有一个小於 根号n 的因数) 第一点是直观判断，第二点是解释它的原因， 这两点教了，就可以用来解释 「如果 100 以内的数，找到10 都还没有找到它的因数，那它必为质数」 三 ) 还有一个则是 「 n 有奇数个 因数 ==> n 为完全平方数」 所以我会建议这样教 ^^ -- 有熊老师陪你教数学 (影片放在youtube频道) YouTube 频道 https://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook专页 https://www.facebook.com/Teacher.Koala 欢迎前来分享教学心得 (也可以来问问题哟~~) --

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