作者lily36501170 (Rosh Shuin)
看板tutor
標題[解題] 舊高一數學 極限與pi的問題
時間Fri Aug 2 23:05:25 2013
這是小弟在Tutor版第一次發問
請各路高手多多幫忙了
如果有踩到版龜麻煩大家鞭小力一些
也告訴我哪裡要改進
我不太確定99課綱把極限擺到哪裡去了
但是小弟最近在教高二的物理的時候
有用到微積分 就講解了一下極限的概念
學生提出一個問題如下:
在一個邊長為1的正方形中畫一個直徑1的圓
正方形的週長為4 圓形的周長為pi
接下來將四個角落沒有被圓形包圍的地方切掉面積最大的正方形
再對沒有被圓包圍的地方繼續切掉最大的正方形
如此反覆的做無限次
理論上正方形會變成圓形
問題是在切割的過程中 理論上邊長是不會有損失的
但在最後4=pi
我的拙見:
切割下來的正方形構成這個圓的周長只在與圓的接觸點
所以並不能以正方形的周長下去做極限
不知道我的想法對不對...
如果對於我的想法有疑問 有需要補充的話
麻煩請提出來 我會再寫上來
最後感謝各位的耐心閱讀與指教
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.25.118.132
1F：推 hopeshop:經過討論後，當你在切割正方形時，面積會接近圓面積，但 08/02 23:47
2F：→ hopeshop:你所切割正方形後，會在圓的周圍形成鋸齒狀的圖形 08/02 23:48
3F：→ hopeshop:如果把它放大，你會發現圓就相當於是一個鋸齒的斜邊 08/02 23:49
4F：→ hopeshop:所以以直角三角形來看，斜邊會小於兩股，鋸齒狀的邊長還 08/02 23:50
5F：→ hopeshop:是總和為4，並沒有變小，也就沒有極限的問題。 08/02 23:51
所以意思是說我可以試著做做看斜邊長
會做出近似於pi的數值
只是第二個正方形開始 邊長要怎樣去做出來??
※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/02 23:57)
6F：推 vvbird:重點在於"無窮"的概念, 你把"有限"的處理方法, 08/03 00:22
7F：推 vvbird:拿來當成"無窮"了, 所以就會出問題... 08/03 00:22
9F：→ hopeshop:你所謂的斜邊，就相當於是特定邊數的正多邊形去逼近pi 08/03 00:23
10F：推 vvbird:在還不能消化有關於"螞蟻從台北走到紐約"那段之前 08/03 00:24
11F：推 vvbird:建議別跟學生討論無窮的部份 08/03 00:24
12F：→ hopeshop:應該可以逼近pi，但是何不直接用內外正多邊形夾擠逼近pi 08/03 00:25
13F：→ hopeshop:基本上，當數遇到無限的時候，認知容易發生衝突跟誤解 08/03 00:26
vv大大:我想你可能誤解我的意思了
我是想如果有一個用極限和斜邊的方式去證明出接近於pi
這樣是功德圓滿的結束這個命題
所以我會需要一個式子(也就是所有鋸齒狀正方形的斜邊合)來當做極限
hope大大:如果說不搭配三角函數去計算會有一定的難度吧??
還有我覺得說這樣變化會不會有一點點牽強??
(對於學生的理解上)
※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/03 00:38)
15F：推 vvbird: 而重點在於"無窮"之後, 是不能以"有限"的方式來解釋的 08/03 00:37
vv大大的圖沒有錯
問題是就hope大的方式去做 勢必要找第一個、第二個、...、第n個正方形的斜邊長
※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/03 00:41)
16F：推 vvbird:所以如果我會錯意, 就把我上面這兩行推文移除吧 08/03 00:40
17F：→ hopeshop:你會錯意了，當你扣掉第一個正方形時，以1/4的圓來看， 08/03 00:47
18F：→ hopeshop:要找的是剩下突起的鋸齒斜邊，這應該不是等腰直角， 08/03 00:48
19F：→ hopeshop:你把正方形跟圓接觸的點與1/4圓的端點連起來，你會發現 08/03 00:50
20F：→ hopeshop:這個恰好是一個圓內接正八邊形…所以當你繼續扣掉正方形 08/03 00:51
21F：→ hopeshop:會變成圓內接正十六邊形…你可以想想這個邊長怎麼求… 08/03 00:52
22F：→ hopeshop:所以做到極限，就會是pi，這是一個近似值… 08/03 00:53
23F：→ hopeshop:所以要知道的不是扣除的正方形斜邊，那個沒有用… 08/03 00:56
24F：→ hopeshop:加總起來要逼近圓周還不知道行不行，鋸齒才是你要的部份 08/03 00:58
25F：→ wayn2008:這個在算的只是周圍的極限跟圓正方形一點關系都沒有，要 08/03 01:05
26F：→ wayn2008:取極限應該像是h大說的，圓內接正x邊形，當x越大正x邊形 08/03 01:05
27F：→ wayn2008:的邊長和會越接近於pi 08/03 01:05
所以是我會錯意了XDDDDD
我大概了解這要怎樣求了
感謝hope大大和vv以及wayn大大三位的解釋
※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/03 01:10)
28F：→ wayn2008:可是學生的做法是在算周圍的周長或面積的極限，圓跟正方 08/03 01:11
29F：→ wayn2008:形並沒有因此而越來越相近，他們還是一個周長是4跟pi 08/03 01:11