作者lily36501170 (Rosh Shuin)
看板tutor
标题[解题] 旧高一数学 极限与pi的问题
时间Fri Aug 2 23:05:25 2013
这是小弟在Tutor版第一次发问
请各路高手多多帮忙了
如果有踩到版龟麻烦大家鞭小力一些
也告诉我哪里要改进
我不太确定99课纲把极限摆到哪里去了
但是小弟最近在教高二的物理的时候
有用到微积分 就讲解了一下极限的概念
学生提出一个问题如下:
在一个边长为1的正方形中画一个直径1的圆
正方形的周长为4 圆形的周长为pi
接下来将四个角落没有被圆形包围的地方切掉面积最大的正方形
再对没有被圆包围的地方继续切掉最大的正方形
如此反覆的做无限次
理论上正方形会变成圆形
问题是在切割的过程中 理论上边长是不会有损失的
但在最後4=pi
我的拙见:
切割下来的正方形构成这个圆的周长只在与圆的接触点
所以并不能以正方形的周长下去做极限
不知道我的想法对不对...
如果对於我的想法有疑问 有需要补充的话
麻烦请提出来 我会再写上来
最後感谢各位的耐心阅读与指教
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 163.25.118.132
1F：推 hopeshop:经过讨论後，当你在切割正方形时，面积会接近圆面积，但 08/02 23:47
2F：→ hopeshop:你所切割正方形後，会在圆的周围形成锯齿状的图形 08/02 23:48
3F：→ hopeshop:如果把它放大，你会发现圆就相当於是一个锯齿的斜边 08/02 23:49
4F：→ hopeshop:所以以直角三角形来看，斜边会小於两股，锯齿状的边长还 08/02 23:50
5F：→ hopeshop:是总和为4，并没有变小，也就没有极限的问题。 08/02 23:51
所以意思是说我可以试着做做看斜边长
会做出近似於pi的数值
只是第二个正方形开始 边长要怎样去做出来??
※ 编辑: lily36501170 来自: 163.25.118.132 (08/02 23:57)
6F：推 vvbird:重点在於"无穷"的概念, 你把"有限"的处理方法, 08/03 00:22
7F：推 vvbird:拿来当成"无穷"了, 所以就会出问题... 08/03 00:22
9F：→ hopeshop:你所谓的斜边，就相当於是特定边数的正多边形去逼近pi 08/03 00:23
10F：推 vvbird:在还不能消化有关於"蚂蚁从台北走到纽约"那段之前 08/03 00:24
11F：推 vvbird:建议别跟学生讨论无穷的部份 08/03 00:24
12F：→ hopeshop:应该可以逼近pi，但是何不直接用内外正多边形夹挤逼近pi 08/03 00:25
13F：→ hopeshop:基本上，当数遇到无限的时候，认知容易发生冲突跟误解 08/03 00:26
vv大大:我想你可能误解我的意思了
我是想如果有一个用极限和斜边的方式去证明出接近於pi
这样是功德圆满的结束这个命题
所以我会需要一个式子(也就是所有锯齿状正方形的斜边合)来当做极限
hope大大:如果说不搭配三角函数去计算会有一定的难度吧??
还有我觉得说这样变化会不会有一点点牵强??
(对於学生的理解上)
※ 编辑: lily36501170 来自: 163.25.118.132 (08/03 00:38)
15F：推 vvbird: 而重点在於"无穷"之後, 是不能以"有限"的方式来解释的 08/03 00:37
vv大大的图没有错
问题是就hope大的方式去做 势必要找第一个、第二个、...、第n个正方形的斜边长
※ 编辑: lily36501170 来自: 163.25.118.132 (08/03 00:41)
16F：推 vvbird:所以如果我会错意, 就把我上面这两行推文移除吧 08/03 00:40
17F：→ hopeshop:你会错意了，当你扣掉第一个正方形时，以1/4的圆来看， 08/03 00:47
18F：→ hopeshop:要找的是剩下突起的锯齿斜边，这应该不是等腰直角， 08/03 00:48
19F：→ hopeshop:你把正方形跟圆接触的点与1/4圆的端点连起来，你会发现 08/03 00:50
20F：→ hopeshop:这个恰好是一个圆内接正八边形…所以当你继续扣掉正方形 08/03 00:51
21F：→ hopeshop:会变成圆内接正十六边形…你可以想想这个边长怎麽求… 08/03 00:52
22F：→ hopeshop:所以做到极限，就会是pi，这是一个近似值… 08/03 00:53
23F：→ hopeshop:所以要知道的不是扣除的正方形斜边，那个没有用… 08/03 00:56
24F：→ hopeshop:加总起来要逼近圆周还不知道行不行，锯齿才是你要的部份 08/03 00:58
25F：→ wayn2008:这个在算的只是周围的极限跟圆正方形一点关系都没有，要 08/03 01:05
26F：→ wayn2008:取极限应该像是h大说的，圆内接正x边形，当x越大正x边形 08/03 01:05
27F：→ wayn2008:的边长和会越接近於pi 08/03 01:05
所以是我会错意了XDDDDD
我大概了解这要怎样求了
感谢hope大大和vv以及wayn大大三位的解释
※ 编辑: lily36501170 来自: 163.25.118.132 (08/03 01:10)
28F：→ wayn2008:可是学生的做法是在算周围的周长或面积的极限，圆跟正方 08/03 01:11
29F：→ wayn2008:形并没有因此而越来越相近，他们还是一个周长是4跟pi 08/03 01:11