作者njunju (妞妞)
看板tutor
標題[分享] 遞迴數列自創解法
時間Thu Mar 7 15:03:24 2013
沒想過要當補教名師
某天家教沒帶書忘了倍數遞迴怎麼解
卻反而偶然自創好用的新解法 某些情況(如公比為整數)解比較快
公比為分數一樣可以解
希望它有機會傳下去囉
或有人能幫我探索此解法的限制
例題： a(1)=4 a(n)=2/3 a(n-1)+5 求a(n)之通解？
1.原標準解法：
a(1)=4;a(2)= 23/3
a(2)-a(1) = 11/3
a(3)-a(2) = 2/3[a(2)-a(1)]
a(4)-a(3) = 2/3[a(3)-a(2)] = (2/3)^2[a(2)-a(1)]
a(5)-a(4) = 2/3[a(4)-a(3)] = (2/3)^3[a(2)-a(1)]
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a(n)-a(n-1)= 2/3[a(n-1)-a(n-2)] = (2/3)^(n-2)[a(2)-a(1)]
___________________________________________________________
a(n)-a(1) = {1+2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+……+(2/3)^(n-2)}x[a(2)-a(1)]
= {1[1-(2/3)^(n-1)]}/(1-2/3)x[a(2)-a(1)]
=> a(n) = 15 - 11(2/3)^(n-1)
2.妞式解法
a(1)=4 ; a(2)=23/3 ; a(3)=91/9
d(1)=a(2)-a(1)= 11/3
d(2)=a(3)-a(2)= 22/9
=>d(n)=11/3 x (2/3)^(n-1)
<以下重點>
令a(n) = Ad(n)+B
代入a(1)=4 = 11/3A + B
a(2)=23/3 = 22/9A + B
聯立解得 11/9 A = -11/3 =>A = -3
B = 15
代回a(n)解得 a(n) = 15-11 (2/3)^(n-1)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.40.101.132
1F：推 itsweb:也可以寫成 a(n)-k=(2/3)[a(n-1)-k] 先算出k 令bn=an-k 03/07 15:12
2F：→ itsweb:bn等比 03/07 15:12
3F：推 doa2:速解就直接設a_n =A(2/3)^n+B 然後利用a_1,a_2解出來就好了 03/07 15:16
4F：→ wayn2008:寫成1F的樣子比較好 這種算法感覺只能用在段考而已 03/07 15:33
5F：→ wayn2008:高三可能完全想不起來這怎麼算OTZ 03/07 15:33
6F：→ wayn2008:程度比較好的直接就看出a_n-k=(2/3)^(n-1)*(a_1-k)# 03/07 15:52
7F：推 buttercrab:限制應該就是an的假設法要能夠建構的出來吧xd 03/07 17:36
※ 編輯: njunju 來自: 114.40.101.132 (03/07 18:28)
8F：→ njunju:想法來源 a(n)與d(n)呈線性 只需找出d(n)的型式 再代入B.C 03/07 18:35
9F：推 kego:其實南一中老師也有教這招 03/07 18:47
10F：推 fu3mo6:學校老師有教過+1 03/07 22:38
11F：推 tzhau:這不就是1st order的齊次解和特解? 03/07 23:15
12F：推 ice80712:遞迴數列跟微分方程有相似的關係 可以直接套通解 03/08 00:30
13F：→ njunju:t大讓我發現原來自己的思路來自ODE ^^ 03/08 02:14
14F：推 windthinking:好像要列式，用跟標準解法相似的思考，才有辦法看出 03/08 18:10
15F：→ windthinking:是線性，大家有更快速的方法看出兩者是線性嗎? 03/08 18:11
16F：→ windthinking:目前只能用標準解法連加第一個等號的左右兩邊看出 03/08 18:20
17F：推 tzhau:C_0 a_n + C_1 a_n-1 + ... + C_r a_n-r =f(n), 其中係數Ci 03/09 16:56
18F：→ tzhau:都是常數, 則就是一個常數係數的線型遞迴關係式 03/09 16:57
19F：→ tzhau:而一個常係數線型遞迴關係式的通解為齊次解與特解兩部分的和 03/09 16:59
20F：→ quark:我以前自己導出 空間中外積長度一半就是兩向量圍成的面積 03/11 02:21
21F：→ quark:那時也以為是自創解法 殊不知 你想得到的 前人都想到了:) 03/11 02:22
22F：推 wilsonl000:推樓上，不過我覺得可以想出跟前人一樣的東西，代表 03/16 14:29
23F：→ wilsonl000:至少跟前人一樣聰明XDD 03/16 14:29