作者njunju (妞妞)
看板tutor
标题[分享] 递回数列自创解法
时间Thu Mar 7 15:03:24 2013
没想过要当补教名师
某天家教没带书忘了倍数递回怎麽解
却反而偶然自创好用的新解法 某些情况(如公比为整数)解比较快
公比为分数一样可以解
希望它有机会传下去罗
或有人能帮我探索此解法的限制
例题： a(1)=4 a(n)=2/3 a(n-1)+5 求a(n)之通解？
1.原标准解法：
a(1)=4;a(2)= 23/3
a(2)-a(1) = 11/3
a(3)-a(2) = 2/3[a(2)-a(1)]
a(4)-a(3) = 2/3[a(3)-a(2)] = (2/3)^2[a(2)-a(1)]
a(5)-a(4) = 2/3[a(4)-a(3)] = (2/3)^3[a(2)-a(1)]
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:
a(n)-a(n-1)= 2/3[a(n-1)-a(n-2)] = (2/3)^(n-2)[a(2)-a(1)]
___________________________________________________________
a(n)-a(1) = {1+2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+……+(2/3)^(n-2)}x[a(2)-a(1)]
= {1[1-(2/3)^(n-1)]}/(1-2/3)x[a(2)-a(1)]
=> a(n) = 15 - 11(2/3)^(n-1)
2.妞式解法
a(1)=4 ; a(2)=23/3 ; a(3)=91/9
d(1)=a(2)-a(1)= 11/3
d(2)=a(3)-a(2)= 22/9
=>d(n)=11/3 x (2/3)^(n-1)
<以下重点>
令a(n) = Ad(n)+B
代入a(1)=4 = 11/3A + B
a(2)=23/3 = 22/9A + B
联立解得 11/9 A = -11/3 =>A = -3
B = 15
代回a(n)解得 a(n) = 15-11 (2/3)^(n-1)
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.40.101.132
1F：推 itsweb:也可以写成 a(n)-k=(2/3)[a(n-1)-k] 先算出k 令bn=an-k 03/07 15:12
2F：→ itsweb:bn等比 03/07 15:12
3F：推 doa2:速解就直接设a_n =A(2/3)^n+B 然後利用a_1,a_2解出来就好了 03/07 15:16
4F：→ wayn2008:写成1F的样子比较好 这种算法感觉只能用在段考而已 03/07 15:33
5F：→ wayn2008:高三可能完全想不起来这怎麽算OTZ 03/07 15:33
6F：→ wayn2008:程度比较好的直接就看出a_n-k=(2/3)^(n-1)*(a_1-k)# 03/07 15:52
7F：推 buttercrab:限制应该就是an的假设法要能够建构的出来吧xd 03/07 17:36
※ 编辑: njunju 来自: 114.40.101.132 (03/07 18:28)
8F：→ njunju:想法来源 a(n)与d(n)呈线性 只需找出d(n)的型式 再代入B.C 03/07 18:35
9F：推 kego:其实南一中老师也有教这招 03/07 18:47
10F：推 fu3mo6:学校老师有教过+1 03/07 22:38
11F：推 tzhau:这不就是1st order的齐次解和特解? 03/07 23:15
12F：推 ice80712:递回数列跟微分方程有相似的关系 可以直接套通解 03/08 00:30
13F：→ njunju:t大让我发现原来自己的思路来自ODE ^^ 03/08 02:14
14F：推 windthinking:好像要列式，用跟标准解法相似的思考，才有办法看出 03/08 18:10
15F：→ windthinking:是线性，大家有更快速的方法看出两者是线性吗? 03/08 18:11
16F：→ windthinking:目前只能用标准解法连加第一个等号的左右两边看出 03/08 18:20
17F：推 tzhau:C_0 a_n + C_1 a_n-1 + ... + C_r a_n-r =f(n), 其中系数Ci 03/09 16:56
18F：→ tzhau:都是常数, 则就是一个常数系数的线型递回关系式 03/09 16:57
19F：→ tzhau:而一个常系数线型递回关系式的通解为齐次解与特解两部分的和 03/09 16:59
20F：→ quark:我以前自己导出 空间中外积长度一半就是两向量围成的面积 03/11 02:21
21F：→ quark:那时也以为是自创解法 殊不知 你想得到的 前人都想到了:) 03/11 02:22
22F：推 wilsonl000:推楼上，不过我觉得可以想出跟前人一样的东西，代表 03/16 14:29
23F：→ wilsonl000:至少跟前人一样聪明XDD 03/16 14:29