作者ivorycoast ()
看板tutor
標題[解題] 高一數學 組合的證明題
時間Sun Feb 17 03:26:46 2013
1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：排列組合
4.題目：
(1)、試證C(2n，n)可被n+1整除。
(2)、對任意正整數n、k，其中n大於等於k，
求證C(n，k)、C(n+1，k)、C(n+2，k)......、C(n+k，k)
的最大公因數為1。
(3)、設N=19^88-1 (19的88次方減1)，
求N的所有形如2^a．3^b的因數總和，
其中a，b為正整數。
5.想法：
(1)依定義展開就不知道怎麼下手了，只記得跟(1+x)^2n有關，
但沒頭緒.....
(2)完全不知道該怎麼下手才是....
(3)有想到將N變成(18+1)^88-1，但展開化簡後變成一個88項的
展開式，不知道該怎麼找出形如2^a．3^b的因數來....
有在數學板問過，可能實力太差，板友的解法我看不大懂，
不知道各位老師有沒有適合高中生的解法....謝謝!!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.174.37.38
1F：→ anncelyc:第一題用數學歸納法(?) 02/17 04:21
2F：→ alamkil:(1)C(2n n)/n+1=2n*...*(n+1)/n+1=2n*.....*(n+2) 02/17 10:38
3F：→ alamkil:除式下方少打n!，可用歸納法 02/17 10:47
4F：→ Andrew801010:關於(3)，先用平方差寫出 02/17 13:33
5F：→ Andrew801010:(19^44+1)(19^22+1)(19^11+1)(19^11-1)再利用同餘理 02/17 13:34
6F：→ Andrew801010:論得到前三項不能被3整除(因為b為正整數所以檢驗此) 02/17 13:35
7F：→ Andrew801010:再將19^11-1=(18+1)^11-1利用二項式展開將-1消去 02/17 13:36
8F：→ Andrew801010:提公因式得到2^1*3^2(...)，其中括號內不能被2或3整 02/17 13:38
9F：→ Andrew801010:除，因此所有可能寫成的形式只有2^1*3^1，2^1*3^2 02/17 13:39
10F：→ Andrew801010:故總和為24 (若過程有問題再請各位補充說明，謝謝) 02/17 13:41
11F：→ Andrew801010:不好意思，少討論2的部分...@@等等補上 02/17 14:23
12F：→ Andrew801010:直接用(18+1)^88-1二項展開消去-1再提公因式(比較末) 02/17 14:46
13F：→ Andrew801010:(三項)得2^4*3^2*(...)，其中括號不能被2或3整除 02/17 14:47
14F：→ Andrew801010:故總和(2^1+...+2^4)(3^1+3^2)=240 02/17 14:50
15F：→ alamkil:(c(n,k) c(n+1,k)......c(n+k,k))=(n!/k!*(n-k)!........ 02/17 16:25
16F：→ alamkil:(n+k)!/k!*n!)=n!/k!*(n-k)!(1......)=n!/k!*(n-k)!=1 02/17 16:27
17F：→ peter9617:Andrew大是不是漏了2^0和3^0 02/18 02:46