作者ivorycoast ()
看板tutor
标题[解题] 高一数学 组合的证明题
时间Sun Feb 17 03:26:46 2013
1.年级：高一
2.科目：数学
3.章节：排列组合
4.题目：
(1)、试证C(2n，n)可被n+1整除。
(2)、对任意正整数n、k，其中n大於等於k，
求证C(n，k)、C(n+1，k)、C(n+2，k)......、C(n+k，k)
的最大公因数为1。
(3)、设N=19^88-1 (19的88次方减1)，
求N的所有形如2^a．3^b的因数总和，
其中a，b为正整数。
5.想法：
(1)依定义展开就不知道怎麽下手了，只记得跟(1+x)^2n有关，
但没头绪.....
(2)完全不知道该怎麽下手才是....
(3)有想到将N变成(18+1)^88-1，但展开化简後变成一个88项的
展开式，不知道该怎麽找出形如2^a．3^b的因数来....
有在数学板问过，可能实力太差，板友的解法我看不大懂，
不知道各位老师有没有适合高中生的解法....谢谢!!
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 1.174.37.38
1F：→ anncelyc:第一题用数学归纳法(?) 02/17 04:21
2F：→ alamkil:(1)C(2n n)/n+1=2n*...*(n+1)/n+1=2n*.....*(n+2) 02/17 10:38
3F：→ alamkil:除式下方少打n!，可用归纳法 02/17 10:47
4F：→ Andrew801010:关於(3)，先用平方差写出 02/17 13:33
5F：→ Andrew801010:(19^44+1)(19^22+1)(19^11+1)(19^11-1)再利用同余理 02/17 13:34
6F：→ Andrew801010:论得到前三项不能被3整除(因为b为正整数所以检验此) 02/17 13:35
7F：→ Andrew801010:再将19^11-1=(18+1)^11-1利用二项式展开将-1消去 02/17 13:36
8F：→ Andrew801010:提公因式得到2^1*3^2(...)，其中括号内不能被2或3整 02/17 13:38
9F：→ Andrew801010:除，因此所有可能写成的形式只有2^1*3^1，2^1*3^2 02/17 13:39
10F：→ Andrew801010:故总和为24 (若过程有问题再请各位补充说明，谢谢) 02/17 13:41
11F：→ Andrew801010:不好意思，少讨论2的部分...@@等等补上 02/17 14:23
12F：→ Andrew801010:直接用(18+1)^88-1二项展开消去-1再提公因式(比较末) 02/17 14:46
13F：→ Andrew801010:(三项)得2^4*3^2*(...)，其中括号不能被2或3整除 02/17 14:47
14F：→ Andrew801010:故总和(2^1+...+2^4)(3^1+3^2)=240 02/17 14:50
15F：→ alamkil:(c(n,k) c(n+1,k)......c(n+k,k))=(n!/k!*(n-k)!........ 02/17 16:25
16F：→ alamkil:(n+k)!/k!*n!)=n!/k!*(n-k)!(1......)=n!/k!*(n-k)!=1 02/17 16:27
17F：→ peter9617:Andrew大是不是漏了2^0和3^0 02/18 02:46