※ 引述《spriteeddy (eddy)》之銘言： : 1.年級：高二 : 2.科目：數學 : 3.章節：線性規劃 : 4.題目： : {x+y≦10 : 有一線性規畫題目，限制條件為{x+ay≦14 ，目標函數為f(x,y)=2x+by， : {x≧0,y≧0,y≦5 : 已知f(x,y)的最大值為24，而且只有發生在(x,y)=(b,c)時，試問b值為_______ : (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)5 : 5.想法： : 因為(b,c)是最大值的唯一解，故必發生在端點上，又x軸和y軸上那兩個點很明顯 : 不符合，所以找x+y=10和x+ay=14的交點(x,y)，又此點應為(b,c)，將b,c用a表示 : 代入f(b,c)=b(2+c) : 但這樣求出來的a會有根號，很明顯與答案有些差異 : 有哪個地方想錯了嗎? 麻煩大家指點。 : 謝謝^^ 假設 {x+y≦10 這塊區域叫做A {x≧0,y≧0,y≦5 {x+y≦10 這塊區域就是B {x+ay≦14 {x≧0,y≧0,y≦5 顯然B包含於A 對於(x,y)屬於A x≧0 但(x,y)=(b,c)時有最大值 所以b≧0 如果b=0的話 那目標函數就變成2x 由區域A的圖形知x+ay=14必須是水平線(但a≠∞矛盾) 所以b>0 x+ay=14這條線有兩種情況 (1) x+ay=14和區域A完全沒有交點 如果是這樣的話 那 A=B 但2x+by的斜率是負的 (因b>0) 所以最大值只有可能發生在(5,5)或(10,0) 代入(10,0)發現2x+by=20不等於24(不合) 代入(5,5)發現(b,c)=(5,5) 且 2*5+5b=24 (b的值矛盾不合) 所以一定不是這種情況 (2) x+ay=14和區域A有交點 如果是這樣的話 又有幾種情況 1. 最大值發生在x+ay=14 和 x+y=10 的交點 如果是這樣的話 那b+c=10 所以最大值發生在(b,10-b) 得 2b+b(10-b)=24 解得 b=6 ±√12 b=6 + √12 合 (可算出a且-1 < -2/b < -1/a 且 c<=5) 若是b=6 - √12 則 c=4 + √12 > 5 (不合) 2. 最大值發生在x+ay=14 和 y=5的交點 如果是這樣的話 那(b,c)=(b,5) 得2b+b*5=24 所以 b=24/7 得24/7+5a=14 a=74/35 所以-2/b < -1/a 但這樣的話由圖形知(24/7,5)就不會是最大值 故不合 所以答案為b=6 + √12 PS如果目標函數改成x+by的話也是類似的討論方法 解得b=3(不合) or 8(不合) or 4 --

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